【分析】
要判断各组线段能否围成直角三角形，分两步思考：第一步先判断三条线段能否构成三角形，需满足“任意两边之和大于第三边”，不满足的直接排除；第二步对能构成三角形的选项，利用勾股定理的逆定理判断，即验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，相等则能围成直角三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1+1=2，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
B选项：1+2=3，同样不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
C选项：先确定最长边为$\sqrt{3}$，计算较短两边的平方和：$1^2 + (\sqrt{2})^2 =1 + 2 = 3$，最长边的平方为$(\sqrt{3})^2=3$，二者相等，符合勾股定理的逆定理，可以围成直角三角形；
D选项：最长边为4，较短两边平方和为$2^2 + 3^2 =4 +9=13$，最长边平方为$4^2=16$，$13≠16$，不符合勾股定理的逆定理，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系
2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础考查题，解题时要注意先验证能否构成三角形，再验证直角三角形的判定条件，避免跳过第一步直接计算造成错选。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先由题意可知AC与CB方向夹角为90°，即△ABC是直角三角形，且∠C=90°。已知直角三角形的斜边AB和一条直角边BC的长度，要求另一条直角边AC的长度，可直接运用勾股定理计算：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，变形得到AC的计算式后代入数值求解即可。
【解析】
解：由题意得$∠ ACB=90°$，$\therefore△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理，得$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}$，
将$AB=50\ \mathrm{m}$，$BC=40\ \mathrm{m}$代入，得：
$AC=\sqrt{50^2 - 40^2}=\sqrt{2500 - 1600}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m})$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，结合实际场景，主要考查学生对勾股定理的掌握和运用能力，只要能准确识别直角三角形，正确套用勾股定理公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先观察图形特征：三个正方形在同一直线上，中间正方形B两侧各有一个直角三角形。首先结合正方形性质，先证两个直角三角形全等，得到正方形A、C的边长和B的边长的关系，再利用正方形面积等于边长平方的性质，结合勾股定理即可求出正方形C的面积。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，由题意得$S_A=a^2=5$，$S_B=b^2=11$。
因为正方形的内角均为$90°$，所以正方形B的相邻两边相等，且下方两个直角三角形中：
$∠ PMN+∠ MPN=90°$，$∠ MPN+∠ QPE=90°$，可得$∠ PMN=∠ QPE$；
又$∠ MNP=∠ PEQ=90°$，且两个三角形的斜边均为正方形B的边，即$MP=PQ$，
所以$△ MNP≌△ PEQ$（AAS），可得两个三角形的直角边分别等于正方形A、C的边长。
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+c^2=b^2$，
代入数值得$c^2=11-5=6$，即正方形C的面积为6。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是勾股定理结合几何图形的典型基础题，解题关键是通过角的互余关系证明三角形全等，将三个正方形的面积与直角三角形的三边关系对应起来。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积，已知直角边为$a$、$b$，面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此只需算出$ab$的值即可。已知$a+b=14$和斜边$c=10$，结合直角三角形的勾股定理，再利用完全平方公式对$a+b=14$两边变形，即可快速求出$ab$的值，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100$
已知$a+b=14$，将等式两边同时平方得：
$(a+b)^2 = 14^2$
展开得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab=48$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48=24$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是无需单独求解两条直角边的具体值，通过勾股定理和完全平方公式的结合直接求出两条直角边的乘积，大大简化了计算步骤，考查了对公式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较方格纸中线段的长短，我们可以利用勾股定理计算各线段长度的平方，因为线段长度是正数，平方越大对应的线段长度越大。首先设每个小方格的边长为1，再分别数出每条线段横向、纵向相差的格数，用勾股定理算出长度平方，最后比较大小就能得到最长的线段。
【解析】
设方格纸中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算各线段长度的平方：
1. 对于AB：横向相差2个单位长度，纵向相差4个单位长度，因此$AB^2=2^2+4^2=4+16=20$，即$AB=\sqrt{20}$；
2. 对于BC：横向相差4个单位长度，纵向相差3个单位长度，因此$BC^2=4^2+3^2=16+9=25$，即$BC=\sqrt{25}=5$；
3. 对于CD：横向相差3个单位长度，纵向相差3个单位长度，因此$CD^2=3^2+3^2=9+9=18$，即$CD=\sqrt{18}$；
4. 对于AE：横向相差1个单位长度，纵向相差4个单位长度，因此$AE^2=1^2+4^2=1+16=17$，即$AE=\sqrt{17}$。
比较平方大小可得$25＞20＞18＞17$，因此$BC＞AB＞CD＞AE$，最长的线段是BC。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数大小比较
【点评】
本题是方格纸中线段长度比较的基础题型，解题的关键是准确数出线段横向、纵向所占的格数，借助勾股定理计算，通过比较平方的大小判断线段长短，比直接计算算术平方根更简便。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算阴影部分半圆的面积，需先确定半圆的直径长度。观察图形可知，半圆的直径为直角三角形ABC的直角边AB，因此可先在Rt△ABC中，利用勾股定理，结合已知的AC、BC长度求出AB的长，再代入半圆面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠ABC=90°，
∴ △ABC是直角三角形
根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AC=5$，$CB=4$代入得：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵ 边长为正数，
∴ $AB=3$
阴影部分为以AB为直径的半圆，其半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}$
根据半圆面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2} × π × (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2} × π × \frac{9}{4} = \frac{9π}{8}$
【答案】
$\frac{9π}{8}$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积计算的结合题型，解题关键是找到阴影部分半圆与直角三角形的关联，先求出半圆的直径再计算面积，计算时需注意区分半圆和整圆的面积公式，避免漏乘$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查直角三角形边长的求解，解题关键是明确勾股定理的应用条件，同时注意题目未说明已知两边的类型时，需分类讨论：首先，直角三角形中斜边是最长边，因此较短的3不可能是斜边，所以仅存在两种情况：一是3和7均为直角边，二是7为斜边、3为直角边，分别用勾股定理计算第三边的平方即可，注意题目要求的是第三边长的平方，无需计算算术平方根。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当长为3和7的边均为直角边时，根据勾股定理，第三边（斜边）的平方为：
$3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$
② 当长为7的边为斜边，长为3的边为直角边时，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的平方为：
$7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$
综上，第三边长的平方为58或40。
【答案】
58或40
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两条边都是直角边，从而漏解。解题时要注意：若题目未明确直角三角形的边长是直角边还是斜边，一定要结合“斜边是直角三角形中最长的边”的性质，分情况讨论，排除不符合逻辑的情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题首先要将实际问题转化为几何模型：竹子折断后，直立的部分、地面、折断的竹段恰好构成直角三角形。我们可以设折断处离地面的高度为未知数，用总高度表示出折断部分的长度，再结合勾股定理列出方程求解即可。
【解析】
设折断处离地面$ x $尺高，已知竹子原高1丈=10尺，因此折断的竹段长度为$ (10 - x) $尺。
由题意可知，直立的竹高$ x $尺、竹梢离根的距离4尺为直角三角形的两条直角边，折断的竹段为斜边，根据勾股定理可得：
$ x^2 + 4^2 = (10 - x)^2 $
展开等式右边：$ x^2 + 16 = 100 - 20x + x^2 $
两边消去$ x^2 $，整理得：$ 20x = 100 - 16 $
计算得：$ 20x = 84 $
解得：$ x = 4.2 $
【答案】
4.2
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合古代数学问题考查勾股定理的实际应用，解题的核心是准确将实际问题抽象为直角三角形模型，找准三边的数量关系列方程求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先根据题中的作图步骤，可判断直线MN是线段BC的垂直平分线，结合垂直平分线的性质可得EC=BE；再根据已知的∠B=45°，可推导△BEC是等腰直角三角形，得到∠AEC为直角，最后在Rt△AEC中用勾股定理求出AE的长度，将AE与BE相加即可得到AB的长。
【解析】
1. 由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得：$EC=BE=4$。
2. 已知$∠ B=45°$，所以$∠ ECB=∠ B=45°$，则$∠ BEC=180°-45°-45°=90°$，因此$∠ AEC=180°-∠ BEC=90°$，即$△ AEC$是直角三角形。
3. 在$Rt△ AEC$中，$AC=5$，$EC=4$，根据勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
4. 因此$AB=AE+BE=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的应用，解题的关键是先识别作图得到的是线段的垂直平分线，再结合角度关系构造直角三角形求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7