【分析】
解题时先从已知条件出发：首先根据BD是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得BA=BC、DA=DC，再由等边对等角得到两组等角∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD；接下来利用三角形外角的性质，可知∠ACD作为△ACE的外角，等于∠E与∠CAE的和，同时∠DAC可拆分为∠FAD与∠CAF的和，结合∠DAC=∠ACD得到两个和的等量关系；最后根据AF//BC的平行线性质，得到内错角∠ACB=∠CAF，替换后消去相等的角，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ BD垂直平分线段AC，
∴ BA=BC，DA=DC，
∴ ∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD。
∵ ∠ACD是△ACE的外角，
∴ ∠ACD=∠E+∠CAE，
又
∵ ∠DAC=∠FAD+∠CAF，
∴ ∠E+∠CAE=∠FAD+∠CAF。
∵ AF//BC，
∴ ∠ACB=∠CAF，
结合∠CAB=∠ACB，可得∠CAF=∠CAE，
∴ ∠FAD=∠E。
【答案】
∠FAD=∠E
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.平行线的性质
3.三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是通过已知条件梳理角之间的等量关系，结合相关性质进行等量代换即可完成证明，能够锻炼几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）要判断点P是否在BC的垂直平分线上，需依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此只需证明PB=PC即可。结合已知P在AB、AC的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质可得到PA与PB、PA与PC的等量关系，通过等量代换即可证得PB=PC。
（2）求∠DAE的度数，已知∠BAC的度数，可先推导∠BAD与∠EAC的度数和，再用∠BAC减去该和得到结果。首先根据三角形内角和定理算出∠ABC+∠ACB的度数，再结合垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠BAD=∠ABC、∠EAC=∠ACB，即可求出∠BAD+∠EAC的度数，进而算出∠DAE。
【解析】
（1）点P在BC的垂直平分线上，证明如下：
如图，连接AP，
∵$l_1$是AB的垂直平分线，
∴$PA=PB$，
∵$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$PA=PC$，
∴$PB=PC$，
∴点P在BC的垂直平分线上。
（2）
∵$∠BAC=100°$，
∴$∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°$，
∵$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$DA=DB$，$EA=EC$，
∴$∠BAD=∠ABC$，$∠EAC=∠ACB$，
∴$∠BAD+∠EAC=∠ABC+∠ACB=80°$，
∴$∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°$。
【答案】
（1）点P在BC的垂直平分线上，证明见解析；
（2）∠DAE的度数为20°。

【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于线段垂直平分线相关的基础常考题，侧重考查对性质与判定的应用能力，解题时需熟练运用垂直平分线的边角转化关系，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先准确理解准等距点的定义：点在四边形某条对角线所在直线上，满足两个条件：①到另一条对角线的两个端点距离相等；②到自身所在对角线的两个端点距离不相等。
（1）作图思路：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作其中一条对角线（如BD）的垂直平分线，它与另一条对角线（AC）所在直线的交点（且该点不是AC的中点），就是符合要求的准等距点。
（2）分析准等距点个数的核心：分别判断两条对角线的垂直平分线与另一条对角线所在直线的交点，是否满足“到自身所在对角线两端点距离不等”的条件，分类讨论即可：
① 对角线互相垂直且互不平分时，两条对角线的中垂线分别与另一条对角线平行，无交点，故准等距点为0；
② 对角线互相平分但不垂直时，两条中垂线与另一条对角线的交点均为对角线的公共中点，该点到自身所在对角线两端点距离相等，不符合要求，故准等距点为0；
③ 仅一条对角线的中垂线过另一条对角线中点时，仅1个交点符合要求，故准等距点为1；
④ 两条对角线的中垂线都不过另一条对角线中点时，有2个符合要求的交点，故准等距点为2；
⑤ 对角线互相垂直且至少一条平分另一条时，被平分的对角线的中垂线与另一条对角线所在直线重合，直线上除中点外所有点都符合要求，故准等距点有无数个。
【解析】
（1）作线段BD的垂直平分线，与AC所在直线交于点P（P不为AC中点），即为所求准等距点，作图符合要求即可。
（2）逐个分析：
① 对角线互相垂直且互不平分：BD的中垂线与AC平行，AC的中垂线与BD平行，无交点，准等距点共0个；
② 对角线互相平分但不垂直：两条中垂线与另一条对角线的交点均为两对角线的公共中点，该点到自身所在对角线两端点距离相等，不符合准等距点要求，共0个；
③ 仅一条对角线的中垂线过另一条对角线中点：其中一个交点为中点（不符合要求），仅1个非中点的交点符合要求，共1个；
④ 两条中垂线均不过另一条对角线中点：两条中垂线与另一条对角线各交于1个符合要求的点，共2个；
⑤ 对角线互相垂直且至少一条平分另一条：被平分的对角线的中垂线与另一条对角线所在直线重合，直线上除中点外的所有点均符合要求，故有无数个。
【答案】
（1）如图所示
（2）①0；②0；③1；④2；⑤无数
【知识点】
线段垂直平分线性质，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将准等距点的定义转化为线段垂直平分线的性质应用，需要结合不同的对角线位置关系分类讨论，能有效考查对新定义的转化能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6