【分析】
本题考查利用立方根的定义求解含三次方的方程，解题思路如下：首先明确立方根的定义：若$a^3=b$，则$a$叫做$b$的立方根，记作$a=\sqrt[3]{b}$，且任意实数的立方根唯一。
(1) 直接对等式两边开立方即可得到$x$的值；
(2) 先通过移项、系数化为1，将式子变形为$x^3=a$的形式，再开立方求解；
(3) 将$(x-2)$看作整体，先开立方求出$x-2$的值，再移项计算得到$x$的值。
【解析】
(1) 对$x^3=-64$两边同时开立方，得：
$x=\sqrt[3]{-64}$
因为$(-4)^3=-64$，所以$x=-4$。
(2) 对$8x^3 -125=0$先移项，得：
$8x^3=125$
两边同时除以8，将$x^3$的系数化为1，得：
$x^3=\frac{125}{8}$
两边同时开立方，得：
$x=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$
因为$(\frac{5}{2})^3=\frac{125}{8}$，所以$x=\frac{5}{2}$。
(3) 对$(x-2)^3=-343$两边同时开立方，将$(x-2)$看作整体，得：
$x-2=\sqrt[3]{-343}$
因为$(-7)^3=-343$，所以$x-2=-7$
移项计算得：$x=-7+2=-5$。
【答案】
(1) $x=-4$ (2) $x=\frac{5}{2}$ (3) $x=-5$
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，整体思想
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，解题核心是熟练掌握立方根的性质，求解含未知数三次方的方程时，通常先将三次方项单独整理到等式一侧，再通过开立方降次求解，第三小问运用整体思想可以简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时先回忆算术平方根和立方根的相关性质：一个数的算术平方根的平方等于被开方数，一个数的立方根的立方等于被开方数。第（1）问先根据$a+5$的算术平方根是2，列出等式$a+5=2^2$，求解得到$a$的值；再将$a$的值代入$a+3b=2^3$，即可求出$b$的值。第（2）问把第（1）问求出的$a$、$b$代入$a+b$计算结果，再求该结果的立方根即可。
【解析】
（1）$\because a+5$的算术平方根是2，根据算术平方根的性质可得：
$a+5=2^2=4$
解得 $a=4-5=-1$
又$\because a+3b$的立方根是2，根据立方根的性质可得：
$a+3b=2^3=8$
将$a=-1$代入上式得：$-1+3b=8$
移项得$3b=9$，解得$b=3$
（2）由（1）可知$a=-1$，$b=3$，
$\therefore a+b=-1+3=2$
$\therefore a+b$的立方根为$\sqrt[3]{2}$
【答案】
(1) $a=-1$，$b=3$；
(2) $\sqrt[3]{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查算术平方根与立方根的定义，解题的关键是掌握乘方和开方互为逆运算，根据定义列方程求解未知量即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）已知正方形面积求边长，可利用正方形面积公式$S=a^2$，结合边长为正数的实际意义，对面积开算术平方根即可得到结果。
（2）已知无盖正方体体积求棱长，可利用正方体体积公式$V=a^3$，对体积开立方得到棱长；无盖正方体的平面展开图由5个完全相同的正方形组成，计算所用纸片面积即求这5个正方形的面积之和。
【解析】
（1）设正方形纸片的边长为$a$，根据正方形面积公式可得$a^2=400$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
（2）设无盖正方体纸盒的棱长为$x$，根据正方体体积公式可得$x^3=216$，开立方得$x=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$。
无盖正方体纸盒共有5个边长为6cm的正方形面，因此所用纸片的面积为$5×6^2=5×36=180\ \mathrm{cm^2}$。
无盖正方体的平面展开图示意图如下：

【答案】
（1）$20\ \mathrm{cm}$
（2）展开图见，该纸盒所用纸片的面积为$180\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
算术平方根，立方根，正方体表面积与展开图
【点评】
本题将平方根、立方根的运算和几何图形的性质结合考查，解题时需要熟练掌握正方形、正方体的相关公式，注重基础运算能力和空间想象能力的应用。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先要明确题目给出的n次方根定义，核心需区分根指数n为奇数和偶数时n次方根的差异：①n为奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数，仅存在1个n次方根；②n为偶数时，只有非负数有n次方根，正数的n次方根有2个（互为相反数），其中带根号无负号的形式表示正的n次方根。我们只需要先判断根指数的奇偶性，再通过乘方的逆运算找到对应n次方根即可。
【解析】
(1) 求-1024的5次方根：根指数5是奇数，计算可知$(-4)^5=-1024$，因此-1024的5次方根是-4；
求1024的10次方根：根指数10是偶数，计算可知$2^{10}=1024$，$(-2)^{10}=1024$，因此1024的10次方根是$\pm2$。
(2) $\sqrt[4]{16}$表示16的正4次方根，根指数4是偶数，因为$2^4=16$，因此$\sqrt[4]{16}=2$；
$\sqrt[5]{-243}$表示-243的5次方根，根指数5是奇数，因为$(-3)^5=-243$，因此$\sqrt[5]{-243}=-3$。
(3) 已知$a＞0$，分两种情况讨论：
当n为正偶数时，正数的偶次方根有2个且互为相反数，因此a的n次方根为$\pm\sqrt[n]{a}$；
当n为正奇数时，正数的奇次方根仅有1个正数，因此a的n次方根为$\sqrt[n]{a}$。
【答案】
(1) －1 024的5次方根是－4,1 024的10次方根是$\pm2$
(2) $\sqrt[4]{16}=2,\sqrt[5]{-243}=-3$
(3) 当$n$是正偶数时,$a$的$n$次方根是$\pm\sqrt[n]{a}$;当$n$是正奇数时,$a$的$n$次方根是$\sqrt[n]{a}$
【知识点】
n次方根的定义，n次方根的性质，开n次方运算
【点评】
本题是平方根、立方根知识的延伸，通过新定义考查知识迁移能力，解题的关键是明确根指数奇偶性对n次方根个数、符号的影响，求解偶次方根时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7