【分析】
本题考查直角三角形边长求解，解题时需注意题干未明确给出的4和5是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论：①5为斜边，4为直角边，求另一条直角边；②4和5均为直角边，求斜边。两种情况分别结合勾股定理计算即可，最终得到第三边的两个可能取值。
【解析】
已知直角三角形两边长为4和5，分两种情况计算：
1. 当边长为5的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得第三边长为：
$\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$
2. 当边长为5的边是直角边时，第三边为斜边，同理根据勾股定理可得第三边长为：
$\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$
综上，第三边的长为3或$\sqrt{41}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略题干未明确斜边的条件，只默认其中一种情况计算导致漏解，求解直角三角形未知边长时，若未明确直角边和斜边，一定要分类讨论所有可能的情况，避免漏算。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先明确思路：首先求出直角三角形的斜边长度，也就是圆弧的半径；再结合点A在数轴上的位置推导它对应的实数。第一步先确定直角三角形两条直角边的长度，水平直角边是数轴上1到3的距离，竖直直角边长度为1；第二步用勾股定理计算斜边长度，该长度就是圆弧的半径，即点A到数轴上表示1的点的距离；第三步因为点A在1的左侧，所以用1减去半径长度即可得到点A表示的实数。
【解析】
首先计算直角三角形的两条直角边长度：
水平直角边长度为$3-1=2$，竖直直角边长度为1，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
由作图可知，圆弧的半径等于斜边长$\sqrt{5}$，即点A到数轴上表示1的点的距离为$\sqrt{5}$，
因为点A在表示1的点的左侧，所以点A表示的实数为$1-\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的半径性质
【点评】
本题是勾股定理在数轴表示无理数中的典型应用，解题的关键是利用圆弧半径相等的性质得到两点距离，结合数轴上左小右大的特征确定数的表达式，要注意不要混淆加减符号。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先求解第一个空：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此上方两个小正方形的面积和等于边长为a的正方形的面积，据此即可求出a的值。
然后求解第二个空：先推导每次“生长”后所有正方形面积和的规律，初始状态（0次生长）面积和为$a^2=14$，每一次生长新增的正方形面积和恒为14，因此可推出第n次生长后的面积和为(n+1)×14，代入n=2024即可计算结果。【解析】1. 求a的值：由题意，三个正方形围成的三角形是直角三角形，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，结合正方形面积等于边长的平方，因此两个小正方形的面积和等于边长为a的正方形的面积，即：$a^2=6+8=14$因为a为正方形边长，是正数，所以$a=\sqrt{14}$。2. 求第2024次生长后所有正方形的面积和：初始（0次生长）时，所有正方形面积和为$S_0=a^2=14$；第1次生长后，新增两个正方形面积和为6+8=14，此时总面积和$S_1=14+14=2×14$；第2次生长后，新生长的正方形面积和仍为14（每个新生长的两个小正方形面积和等于对应上方正方形的面积，总和为6+8=14），此时总面积和$S_2=2×14+14=3×14$；以此类推，第n次生长后，所有正方形的面积和为S_n=(n+1)×14；当n=2024时，$S_{2024}=(2024+1)×14=2025×14=28350$。【答案$】\sqrt{14}$，28350
【知识点】
勾股定理，图形规律探究
【点评】
本题结合“毕达哥拉斯树”的生长过程，既考查勾股定理的几何意义，也考查规律探究的能力，解题的关键是理解勾股定理与正方形面积的对应关系，准确找到每次生长后新增面积的规律。
【难度系数】
0.6

【分析】
要求△ABC的周长，需要先求出△ABC三边AB、AC、BC的长度。已知AD是BC边上的高，所以△ABD和△ACD都是直角三角形，可先利用勾股定理分别求出AB和AC的长，再结合图形中D、C、B的位置关系求出BC的长度，最后将三边相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD、△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AD=12，BD=16，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=12^2+16^2=144+256=400$，
∴$AB=\sqrt{400}=20$（边长为正，舍去负值）。
在Rt△ACD中，AD=12，CD=5，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
∴$AC=\sqrt{169}=13$（边长为正，舍去负值）。
由图可知点C在线段BD上，故$BC=BD-CD=16-5=11$。
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=20+13+11=44$。
【答案】
△ABC的周长是44
【知识点】
勾股定理，三角形的高，周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过高构造出直角三角形，再利用勾股定理求出未知边长，注意结合图形确定线段BC的长度，避免错误计算线段和差。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要构造面积为4的钝角三角形，首先根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知只要满足底和高的乘积为8即可。我们可以先选一条在格线上的边作为底，比如取底长为2，那么对应的高就为4，再将第三个顶点放在合适的格点位置保证三角形为钝角三角形，最后用勾股定理计算各边长度：水平/竖直边直接数格数，斜边长度等于对应直角边的平方和开平方。
（2）要构造面积为10的正方形，根据正方形面积公式$S=边长^2$，可知正方形边长为$\sqrt{10}$。结合勾股定理，直角边为1和3的直角三角形斜边正好是$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，因此只需要在格点上画出4条长度为$\sqrt{10}$、互相垂直且首尾顺次连接的线段，即可得到符合要求的正方形。
【解析】
（1）在图①中取水平方向相邻2个格点为A、B，可得$AB=2$；在AB上方距离AB竖直高度为4格、A点左侧1格的格点取为C，连接AC、BC，得到$△ ABC$。
验证面积：以AB为底，高为4，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$，且$∠ CAB$为钝角，满足要求。
计算边长：
$AB$是水平线段，长度为2；
$AC$对应的水平直角边为2、竖直直角边为4，由勾股定理得$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$；
$BC$对应的水平直角边为4、竖直直角边为4，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$。
（2）正方形面积为10，因此边长为$\sqrt{10}$，在图②中依次作4条长度为$\sqrt{10}$、相邻两条互相垂直的线段，首尾连接得到正方形，其面积为$(\sqrt{10})^2=10$，满足要求。
【答案】
12. (1) 如图①所示，$△ ABC$即为面积为4的三角形；$AB=2$，$BC=\sqrt{32}$，$AC=\sqrt{20}$ (2) 如图②所示
【知识点】
勾股定理、三角形面积计算、正方形的性质
【点评】
本题属于开放型作图题，需要结合面积公式和勾股定理确定所需线段的长度，既考察了格点图形的构造能力，也能检验对勾股定理的灵活运用能力，解题时可先通过公式算出所需边长，再结合格点特点找到对应点位完成作图。
【难度系数】
0.7