【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理逆定理的内容，题目直接给出了三角形三边的平方关系$a^2 + b^2 = c^2$，完全符合勾股定理逆定理的前提条件，直接对应定理的结论即可得到三角形的形状。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a$、$b$、$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形。本题中明确给出三边长满足该等式，因此可直接得出三角形的形状。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，核心是对勾股定理逆定理内容的记忆，熟练掌握定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆勾股数的定义：需同时满足两个条件，①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。首先提取记忆中最基础的勾股数，比如3、4、5，验证符合要求后，再通过给基础勾股数的三个数同时乘同一个正整数，就能得到新的勾股数，比如给3、4、5都乘2得到6、8、10，再次验证符合要求即可。
【解析】
根据勾股数的定义验证：
① 取3、4、5，计算得：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，且三个数均为正整数，符合勾股数要求；
② 将3、4、5同时扩大2倍得到6、8、10，计算得：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，且三个数均为正整数，也符合勾股数要求。
【答案】
① 3,4,5；② 6,8,10
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解勾股数的两个必备条件，平时注意积累常见的勾股数即可快速作答，需注意勾股数必须是正整数，小数、负数都不符合要求。
【难度系数】
0.9

【分析】
已知三角形三边长求面积时，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算三条边长的平方，观察两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足则为直角三角形，两条短边为直角边，再用直角三角形面积公式即可快速求解。
【解析】
1. 计算三边长的平方：
$(\sqrt{2})^2=2$，$2^2=4$，$(\sqrt{6})^2=6$
2. 验证勾股定理的逆定理：
$\because 2+4=6$，即$(\sqrt{2})^2 + 2^2 = (\sqrt{6})^2$
$\therefore$ 该三角形是直角三角形，两条直角边分别为$\sqrt{2}$和2
3. 计算三角形面积：
$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先判断三角形形状，再选择对应公式计算面积，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断一组数是不是勾股数，需紧扣勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先排除不符合正整数要求的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系即可得到答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
对各选项逐一分析：
选项A：0.3、0.4、0.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项B：5、12、13均为正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股数的条件，符合要求；
选项C：9、16、25均为正整数，但$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足要求，排除；
选项D：1、2、3均为正整数，但$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的要求，误选A选项，解题时需牢记勾股数的两个判定条件，逐一验证即可得分。
【难度系数】
0.8

【分析】要判断网格中的三角形是不是直角三角形，我们可以先设每个小方格的边长为1，利用勾股定理分别计算出三角形三边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形是直角三角形，反之则不是。
【解析】设每个小正方形的边长为1，分别计算各选项三角形三边的平方：
选项A：三边长的平方分别为$1^2+2^2=5$，$2^2+2^2=8$，$2^2=4$，因为$4+5≠8$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
选项B：三边长的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$1^2+4^2=17$，因为$5+10≠17$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
选项C：三边长的平方分别为$1^2+3^2=10$，$2^2+2^2=8$，$1^2+3^2=10$，因为$8+10≠10$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
选项D：三边长的平方分别为$1^2+2^2=5$，$2^2+2^2=8$，$1^2+3^2=13$，因为$5+8=13$，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形。
【答案】D
【知识点】勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】本题是网格中直角三角形的判定问题，核心是利用勾股定理求出各边长度的平方，再用逆定理验证，这种方法是网格类几何题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】0.7

【分析】
要判断以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，反之则不是。解题步骤为：①先确定三条边中的最长边；②分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；③比较两个结果是否相等，得出对应结论。
【解析】
(1) 第一步确定最长边为$c=29$，
计算两条短边平方和：$a^2+b^2=20^2+21^2=400+441=841$，
计算最长边平方：$c^2=29^2=841$，
二者相等，满足勾股定理逆定理的条件。
(2) 第一步确定最长边为$c=8$，
计算两条短边平方和：$a^2+b^2=5^2+7^2=25+49=74$，
计算最长边平方：$c^2=8^2=64$，
二者不相等，不满足勾股定理逆定理的条件。
(3) 第一步确定最长边为$a=\sqrt{7}$，
计算两条短边平方和：$b^2+c^2=(\sqrt{3})^2+2^2=3+4=7$，
计算最长边平方：$a^2=(\sqrt{7})^2=7$，
二者相等，满足勾股定理逆定理的条件。
【答案】
(1) $20^2+21^2=29^2$,是直角三角形
(2) $5^2+7^2≠8^2$,不是直角三角形
(3) $(\sqrt{3})^2+2^2=(\sqrt{7})^2$,是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理、乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先找准最长边，再验证平方和的等量关系，计算带根号的数的平方时要注意运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，解题时首先注意题目未明确说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①长为5的边是斜边，长为4的边是直角边，求另一条直角边；②长为4和5的边均为直角边，求斜边。再分别根据勾股定理计算第三边长度，最后验证结果符合边长为正的要求即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长为5的边是斜边，长为4的边是直角边时，设第三边长为$x$（$x＞0$），根据勾股定理可得：
$x^2 + 4^2 = 5^2$
$x^2 = 25 - 16 = 9$
解得$x=3$（边长为正，舍去负根）。
2. 当长为4和5的边都是直角边时，设第三边（斜边）长为$y$（$y＞0$），根据勾股定理可得：
$y^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
解得$y=\sqrt{41}$（边长为正，舍去负根）。
两种结果均符合三角形边长要求，因此第三边长为3或$\sqrt{41}$。
【答案】
3或$\sqrt{41}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略题干未明确斜边的条件，仅考虑一种情况导致漏解。遇到直角三角形边长计算且未指定斜边的题型时，要先分类讨论，再验证结果是否符合实际要求，舍去不符合的解。
【难度系数】
0.6

【分析】
要求∠ABC的度数，可先连接AC构造△ABC，借助网格边长为1的特征，利用勾股定理分别计算△ABC三边长度的平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边的等量关系即可推导角的度数。第一步：连接AC，将所求角纳入三角形中；第二步：根据勾股定理，分别计算AC、BC、AB的平方；第三步：用勾股定理逆定理判断△ABC是否为直角三角形，再结合边的相等关系判断是否为等腰直角三角形，最终得到∠ABC的度数。
【解析】
连接AC，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$AB^2 = 1^2 + 3^2 = 10$，
由此可得$AC^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AB^2$，且$AC=BC$。
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是等腰直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
因此$∠ ABC = 45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题，解题核心是通过构造三角形，将角度计算转化为三角形形状判断的问题，灵活运用勾股定理及逆定理即可求解，锻炼了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知∠ABC=90°，我们可以通过连接AC将不规则四边形ABCD分割为两个三角形，先利用勾股定理求出Rt△ABC中斜边AC的长度，再结合AC、CD、AD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，最后将两个直角三角形的面积相加即可得到菜地的总面积。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
∴$AC=15\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，$AC=15\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$AD=17\ \mathrm{m}$，
∵$AC^2+CD^2=225+8^2=225+64=289$，$AD^2=17^2=289$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
则四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m^2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用场景，体会转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.7