【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要把实际场景转化为几何模型：我们可以通过作辅助线构造直角三角形，云梯的长度就是该直角三角形的斜边。首先计算A、B两点的竖直高度差：A离地面28m，B离地面4m，因此竖直方向直角边长度为28-4=24m；已知B与居民楼的水平距离是10m，这就是水平方向的直角边长度。最后利用勾股定理即可求出斜边，也就是云梯需要伸长的长度。
【解析】
作$BC ⊥$地面，垂足为$C$，$BE ⊥ AD$，垂足为$E$，由题意得$BC=4\ \mathrm{m}$，$BE=10\ \mathrm{m}$，$AD=28\ \mathrm{m}$。
根据矩形对边相等的性质，得$ED=BC=4\ \mathrm{m}$，因此$AE=AD-ED=28-4=24(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理，得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26(\mathrm{m})$
答：云梯需要伸长26 m才能到达着火处。
【答案】
云梯需要伸长26 m才能到达着火处
【知识点】
勾股定理，辅助线构造，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题核心是通过辅助线将实际问题转化为直角三角形计算问题，准确找到两条直角边的长度即可求解，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决圆柱表面的最短爬行路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面长方形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。由于蚂蚁在容器外壁、面包屑在容器内壁，爬行路径必须经过容器上边缘，因此可作A点关于上边缘所在直线的对称点A'，此时A到上边缘任意点的距离等于A'到该点的距离，蚂蚁爬行的最短路径就转化为A'到B的线段长度，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
第一步，计算相关线段长度：
容器高15cm，A处离底部6cm，因此A到容器上边缘的距离为$15-6=9\ \mathrm{cm}$；B处离容器顶部1cm，因此展开后竖直方向上A'到B的距离为$9+1=10\ \mathrm{cm}$；
A与B在圆柱上相对，展开后水平方向的距离为底面周长的一半，即$8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
第二步，利用对称转化路径：
将圆柱侧面展开，作点A关于上边缘所在直线EF的对称点A'，根据对称性质，$AF=A'F$，因此蚂蚁爬行路径$BF+AF=BF+A'F$，当B、F、A'三点共线时路径最短，即最短路径为A'B的长度。
第三步，用勾股定理计算：
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'D^2+BD^2}=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}\ \mathrm{cm}$
【答案】

【知识点】
最短路径问题，勾股定理应用，圆柱侧面展开
【点评】
本题是立体图形最短路径计算的典型题型，解题核心是通过侧面展开将立体问题转化为平面问题，结合对称变换将折线路径转化为直线路径，再运用勾股定理求解，能够很好地考查空间想象能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要判断A处农场是否受台风影响，本质是比较点A到台风移动路径BC的最短距离与台风影响半径250km的大小：若最短距离小于250km则受影响，反之不受。可先在直角三角形中用勾股定理求出斜边BC的长度，再用等面积法算出斜边上的高AD（即A到BC的最短距离），和250比较即可得出结论。
(2) 求台风影响农场的持续时间，需先求出台风移动过程中能影响到A点的路径长度：以A为圆心、250km为半径画圆，与BC交于E、F两点，线段EF就是影响路径。结合勾股定理求出DF的长度，进而得到EF的总长度，再根据“时间=路程÷速度”即可算出影响时长。
【解析】
(1) 会受到台风的影响，理由如下：
过点$A$作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB ⊥ AC$，$AB=400\ \mathrm{km}$，$AC=300\ \mathrm{km}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{300^2+400^2}=500\ \mathrm{km}$。
因为$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}BC · AD$，也可表示为$\frac{1}{2}AB · AC$，因此：
$\frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2}AB · AC$，
代入数值解得$AD=\frac{AB · AC}{BC}=\frac{400 × 300}{500}=240\ \mathrm{km}$。
因为$240\mathrm{km}＜250\mathrm{km}$，所以农场A会受到台风的影响。
(2) 假设台风中心移动到线段EF上时，农场A受影响，则$AE=AF=250\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AD=240\ \mathrm{km}$，$AF=250\ \mathrm{km}$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70\ \mathrm{km}$，
因此$EF=2DF=2×70=140\ \mathrm{km}$。
已知台风移动速度为25 km/h，所以影响持续时间为：
$t=\frac{EF}{v}=\frac{140}{25}=5.6\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) A处的农场会受到台风的影响，理由见解析；
(2) 台风影响该农场的持续时间为$\boxed{5.6\ \mathrm{h}}$。
【知识点】
勾股定理的应用；点到直线的距离；行程问题计算
【点评】
本题将实际生活中的台风影响问题转化为几何问题求解，解题核心是利用垂线段最短确定判断是否受影响的依据，结合等面积法、勾股定理计算相关线段长度，再结合行程公式得到结果，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7