10. 如图，在平面直角坐标系中，$△ A_1A_2A_3$，$△ A_3A_4A_5$，$△ A_5A_6A_7$，…都是斜边在$x$轴上的等腰直角三角形，斜边长分别为2，4，6，….若$△ A_1A_2A_3$的顶点坐标分别为$A_1$（2，0），$A_2(1，－1)$，$A_3(0，0)$，则依图中所示规律，$A_{2024}$的坐标为（
C
）
A.(1 010，0)
B.(1 012，0)
C.(2，1 012)
D.(2，1 010)
答案：10. C
解析：
【分析】
要确定$A_{2024}$的坐标，首先观察已知点的坐标特征，先列举部分偶数序号的点的坐标，总结规律：脚码为偶数的点分为两类，一类是脚码除以4余2的点，一类是脚码为4的倍数的点，再判断2024所属的类别，代入规律即可得到坐标。首先根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，计算前几个偶数序号点的坐标，可发现当点的脚码是4的倍数时，横坐标恒为2，纵坐标等于脚码的一半，验证2024是4的倍数后即可计算坐标。
【解析】
解：结合等腰直角三角形的性质，列举部分偶数序号点的坐标：
1. 已知$A_2(1,-1)$；
2. $△ A_3A_4A_5$是斜边为4的等腰直角三角形，斜边上的高为$4÷2=2$，顶点$A_4$在$x$轴上方，斜边$A_3A_5$的中点横坐标为$(0+4)÷2=2$，因此$A_4(2,2)$；
3. 同理推导可得$A_6(1,-3)$，$A_8(2,4)$；
观察上述坐标可得规律：当点的脚码为4的正整数倍时，点的横坐标为2，纵坐标为脚码$÷2$。
因为$2024÷4=506$，即2024是4的倍数，所以$A_{2024}$的横坐标为2，纵坐标为$2024÷2=1012$，即$A_{2024}$的坐标为$(2,1012)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系规律探究；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是先通过已知条件和等腰直角三角形的性质，推导部分点的坐标，分类总结不同脚码对应的点的坐标规律，再代入所求脚码计算即可，解题时要注意区分不同位置点的脚码特征，避免规律总结错误。
【难度系数】
0.6
11. 在平面直角坐标系中，已知点$ M(m - 2, 2m - 7) $，点$ N(n, 3) $.若$ MN ⊥ x $轴，且$ MN = 2 $，求$ n $的值.
答案：11. 4或2
解析：
【分析】
解题首先要回忆垂直于x轴的直线上的点的坐标特征：所有点的横坐标相等，因此可得点M和点N的横坐标相等，即$n = m - 2$。其次，垂直于x轴的线段长度等于两端点纵坐标差的绝对值，结合$MN=2$可列绝对值方程求出$m$的值，最后代入$n = m - 2$即可求出$n$的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
解：$\because MN ⊥ x$轴
$\therefore$ 点M与点N的横坐标相等，且MN的长度为两点纵坐标差的绝对值
即 $n = m - 2$，且 $\left| (2m - 7) - 3 \right| = 2$
整理绝对值方程得：$\left| 2m - 10 \right| = 2$
分两种情况讨论：
① 当$2m - 10 = 2$时，解得$m = 6$，此时$n = 6 - 2 = 4$
② 当$2m - 10 = -2$时，解得$m = 4$，此时$n = 4 - 2 = 2$
综上，$n$的值为4或2。
【答案】
4或2
【知识点】
1. 垂直x轴的点坐标特征 2. 坐标系两点距离计算 3. 绝对值方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系坐标性质的基础应用题，核心是掌握垂直于坐标轴的直线上点的坐标规律，计算线段长度时注意加绝对值，避免因忽略分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.7
12. 先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知在平面直角坐标系内两点M，N的坐标分别为$(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$（如图），根据勾股定理，两点间的距离公式为$MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。当两点所在的直线在坐标轴上或平行（垂直）于x轴，距离公式可简化成$|x_1-x_2|$或$|y_1-y_2|$。
（1）已知点A(2，1)，B(-1，-3)，则点A，B的距离为
5
。
（2）写出$\sqrt{(x-3)^2+(y-5)^2}$的几何意义：
点$(x,y)$与$(3,5)$的距离
。
（3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(0，6)，B(-3，2)，C(3，2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由。
（4）求代数式$\sqrt{(x-3)^2+25}+\sqrt{(4-x)^2+9}$的最小值。
答案：12.（1）5 （2）点$(x,y)$与$(3,5)$的距离 （3）等腰三角形 （4）看作$(x,0)$到$(3,5),(4,3)$的距离之和，即$(3,-5),(4,3)$连线段的长度，即$\sqrt{(3-4)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{65}$
解析：
【分析】
（1）直接运用题干给出的两点间距离公式，将A、B的坐标代入计算即可得到两点距离。
（2）逆用两点间距离公式，根号下是两个点横、纵坐标差的平方和，对应就是两个点的距离，对应两个点的坐标分别为$(x,y)$和$(3,5)$。
（3）要判断三角形的形状，分别计算三边的长度，观察边的数量关系：B、C两点纵坐标相同，可直接简化计算BC的长度，再用距离公式计算AB、AC的长度，即可判断形状。
（4）先将代数式转化为两点间距离的形式：$\sqrt{(x-3)^2+(0-5)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(0-3)^2}$，即x轴上动点$(x,0)$到点$(3,5)$和$(4,3)$的距离之和，结合轴对称“将军饮马”模型，作其中一个点关于x轴的对称点，对称点与另一个点的连线长度就是代数式的最小值，再用距离公式计算即可。
【解析】
（1）将$A(2,1)$，$B(-1,-3)$代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{[2-(-1)]^2+[1-(-3)]^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
（2）根据两点间距离公式，$\sqrt{(x-3)^2+(y-5)^2}$表示平面直角坐标系中点$(x,y)$与点$(3,5)$之间的距离。
（3）该三角形是等腰三角形，理由如下：
计算三边长度：
① $B(-3,2)$、$C(3,2)$纵坐标相等，因此$BC=|3-(-3)|=6$；
② $AB=\sqrt{(-3-0)^2+(2-6)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$；
③ $AC=\sqrt{(3-0)^2+(2-6)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
可得$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形。
（4）将代数式变形为：$\sqrt{(x-3)^2+(0-5)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(0-3)^2}$，其几何意义为x轴上的动点$P(x,0)$到定点$M(3,5)$、$N(4,3)$的距离之和，即$PM+PN$。
作点M关于x轴的对称点$M'(3,-5)$，根据轴对称性质，$PM=PM'$，因此$PM+PN=PM'+PN$。
当$M'$、$P$、$N$三点共线时，$PM'+PN$取得最小值，最小值为线段$M'N$的长度：
$M'N=\sqrt{(3-4)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$
即代数式的最小值为$\sqrt{65}$。
【答案】
（1）$\boxed{5}$
（2）$\boxed{点(x,y)与点(3,5)的距离}$
（3）$\boxed{等腰三角形}$
（4）$\boxed{\sqrt{65}}$
【知识点】
两点间距离公式；等腰三角形的判定；最短路径问题
【点评】
本题从基础公式应用到公式几何意义的理解，再结合轴对称性质解决最值问题，层层递进，既考查了对新公式的掌握程度，也考查了数形结合思想和转化思想的应用，对知识的灵活运用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
