问题 如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.
(1) 在图(1)中,作∠BAC的角平分线AD,分别交CB,BE于D,F两点.求证:∠EFD=∠ADC;
(2) 在图(2)中,作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD所在的直线,分别交CB,BE的延长线于D,F两点,试探究(1)中结论是否仍成立.为什么?
名师指导
(1) 首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC,再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,进而得到结论.
(2) 类似(1)可得∠BAD=∠DAG,再根据对顶角相等得∠FAE=∠DAG=∠BAD,从而根据外角的性质可得∠EFD=∠AEB−∠FAE,∠ADC=∠ABC−∠BAD,进而得到结论.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
解析：
【分析】
(1) 要证明∠EFD=∠ADC，首先根据角平分线的定义得到一组等角∠BAD=∠DAC，再利用三角形外角的性质，分别将两个待证角拆分为两个角的和，结合已知∠AEB=∠ABC，通过等量代换即可完成证明。
(2) 探究结论是否成立时，先由外角的角平分线定义得到∠GAD=∠BAD，结合对顶角相等推出∠FAE=∠BAD，再利用三角形外角的性质，将两个待证角表示为两个角的差，结合已知∠AEB=∠ABC等量代换，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠DAC。
由三角形外角的性质可得：
∠EFD = ∠DAC + ∠AEB，
∠ADC = ∠ABC + ∠BAD，
又
∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠DAC + ∠AEB = ∠BAD + ∠ABC，
即∠EFD = ∠ADC。
(2) (1)中结论仍成立，理由如下：
∵AD平分∠BAG，
∴∠GAD = ∠BAD。
∵∠FAE = ∠GAD，
∴∠FAE = ∠BAD。
由三角形外角的性质可得：
∠AEB = ∠EFD + ∠FAE，即∠EFD = ∠AEB - ∠FAE，
∠ABC = ∠ADC + ∠BAD，即∠ADC = ∠ABC - ∠BAD，
又
∵∠AEB = ∠ABC，
∴∠AEB - ∠FAE = ∠ABC - ∠BAD，
即∠EFD = ∠ADC。
【答案】
(1) 可证得∠EFD=∠ADC；
(2) (1)中结论仍成立，∠EFD=∠ADC。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度关系的典型题，核心思路是通过外角性质将待证角转化为含已知等角的表达式，再借助等量代换完成推导，两种情形的解法逻辑一致，能很好地考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
