如图，已知$∠ XOY=90°$，点$A$，$B$分别在射线$OX$，$OY$上移动，$BE$是$∠ ABY$的平分线，$BE$的反向延长线与$∠ OAB$的平分线相交于点$C$.试问随着$A$，$B$的移动，$∠ ACB$的大小是否变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出变化范围.
答案：$∠ACB$ 的大小不变.
证明: $\because ∠ABY$ 为 $△ AOB$ 的一个外角,
$\therefore ∠ABY=90°+∠OAB.$ 又$\because BE$ 为$∠ABY$的平分线, $\therefore ∠ABE=\frac{1}{2}∠ABY=\frac{1}{2}(90°+∠OAB),$
$\therefore ∠ABE=45°+\frac{1}{2}∠OAB. \because AC$ 是$∠OAB$的平分线, $\therefore ∠BAC=\frac{1}{2}∠OAB. \because ∠ABE=∠C+∠CAB, \therefore ∠C=∠ABE-∠CAB=45°+\frac{1}{2}∠OAB-\frac{1}{2}∠OAB=45°$,即$∠ACB$的大小不变.
解析：
【分析】
要判断∠ACB的大小是否随点A、B的移动变化，只需推导∠ACB的度数是否与A、B移动时的变化角有关。首先利用三角形外角的性质得到∠ABY与∠OAB的关系，再结合角平分线的定义分别表示出∠ABE和∠BAC，最后再次利用三角形外角的性质建立∠ACB和上述角的关系，消去变化的角，即可判断∠ACB是否为定值。
【解析】
证明：
∵∠ABY是△AOB的外角，∠XOY=90°
∴∠ABY=∠XOY+∠OAB=90°+∠OAB
∵BE是∠ABY的平分线
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABY=$\frac{1}{2}(90°+∠OAB)$=45°+$\frac{1}{2}$∠OAB
∵AC是∠OAB的平分线
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠OAB
又
∵∠ABE是△ABC的外角
∴∠ABE=∠ACB+∠BAC
∴∠ACB=∠ABE-∠BAC=$45°+\frac{1}{2}∠OAB-\frac{1}{2}∠OAB=45°$
即∠ACB的大小不发生变化。
【答案】
∠ACB的大小不变，始终为45°。
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于几何定值类常见题型，解题核心是利用三角形外角性质搭建已知定角和待求角的关联，结合角平分线的定义消去可变的角，最终得到固定的角度值，掌握外角性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
答案：1. 三角形三条中线的交点.
解析：
【分析】
这是一道三角形基础概念的识记类题目，解题时需回忆三角形不同特殊交点的定义：要区分重心（中线交点）、垂心（高的交点）、内心（角平分线交点）、外心（三边垂直平分线交点）这几个易混概念，直接对应三角形重心的定义即可得到答案。
【解析】
根据三角形重心的定义，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。
【答案】
三角形三条中线的交点
【知识点】
三角形重心的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对概念识记能力的考查，熟练掌握三角形各类特殊交点的对应定义即可快速作答，是必须拿分的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在格点上,则△ABC的重心在（
C
）
A.线段DE上
B.线段EF上
C.线段BE上
D.线段FG上
B
F
C
G
E
D
答案：2. C.
解析：
【分析】
解决本题首先要回忆三角形重心的相关性质：三角形的重心是三条中线的交点，因此重心一定在三角形的任意一条中线上。解题时先观察△ABC的边，找到某条边的中点，判断对应中线与选项中线段的关系即可。首先观察竖直边AC，数格点可知E点恰好是AC的中点，因此线段BE是△ABC的一条中线，重心必然在这条中线上。
【解析】
1. 回忆性质：三角形的重心是三条中线的交点，重心位于三角形的每一条中线上。
2. 确定边AC的中点：已知每个小正方形边长为1，观察网格可得线段AC为竖直线段，AE的长度为2，EC的长度也为2，因此E是AC的中点。
3. 判定中线：连接顶点B和AC的中点E，线段BE是△ABC的一条中线。
4. 得出结论：三角形重心在中线上，因此△ABC的重心在线段BE上。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质、三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形重心和中线定义的理解，解题关键是准确找到三角形的中线，结合重心的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
问题 如图，点$O$为$△ ABC$的重心，连接$BO$并延长交$AC$于点$D$，连接$CO$并延长交$AB$于点$E$，求$S_{△ OCD}:S_{\mathrm{四边形}AEOD}$的值。
名师指导
本题关键是利用三角形重心的概念，以及同底（等底）或同高（等高）的两三角形面积之间的关系。连接$OA$，根据重心的概念得出$S_{△ AOD}=S_{△ OCD}=S_{△ EOB}=S_{△ AOE}$，设$S_{△ OCD}=x$，接下来通过面积的和差和等量代换即可得出答案。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解:
答案：解：
连接OA，
∵ 点O是△ABC的重心，
∴ D是AC的中点，E是AB的中点，即AD=DC，AE=EB。
∵ △AOD与△OCD同高，且底AD=DC，
∴ $S_{△ AOD} = S_{△ OCD}$。
同理可得 $S_{△ AOE} = S_{△ EOB}$。
由重心的性质可知 $CO:OE=2:1$，△AOC与△AOE同高，
∴ $S_{△ AOC} = 2S_{△ AOE}$。
设$S_{△ OCD}=x$，则$S_{△ AOD}=x$，
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ AOD}+S_{△ OCD}=2x$，
代入$S_{△ AOC}=2S_{△ AOE}$，得$S_{△ AOE}=x$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}AEOD}=S_{△ AOD}+S_{△ AOE}=x+x=2x$，
∴ $S_{△ OCD}:S_{\mathrm{四边形}AEOD}=x:2x=1:2$。
解析：
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的概念：重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，且三角形的中线会平分三角形的面积。要计算两个图形的面积比，可通过连接辅助线OA，将所求面积拆分为小三角形的面积，利用“等底等高的三角形面积相等”“同高三角形的面积比等于底的比”的规律，设其中最小的三角形面积为参数，依次推导其余部分的面积，最后计算比值即可。
【解析】
解：连接OA，
∵ 点O是△ABC的重心，
∴ D是AC的中点，E是AB的中点，即$AD=DC$，$AE=EB$。
∵ △AOD与△OCD同高，且底$AD=DC$，
∴ $S_{△ AOD} = S_{△ OCD}$。
同理可得 $S_{△ AOE} = S_{△ EOB}$。
由重心的性质可知 $CO:OE=2:1$，△AOC与△AOE同高，
∴ $S_{△ AOC} = 2S_{△ AOE}$。
设$S_{△ OCD}=x$，则$S_{△ AOD}=x$，
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ AOD}+S_{△ OCD}=2x$，
代入$S_{△ AOC}=2S_{△ AOE}$，得$S_{△ AOE}=x$。
∴ $S_{\mathrm{四边形}AEOD}=S_{△ AOD}+S_{△ AOE}=x+x=2x$，
∴ $S_{△ OCD}:S_{\mathrm{四边形}AEOD}=x:2x=1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
三角形重心性质；等底等高三角形面积关系；面积比例计算
【点评】
本题是三角形重心与面积计算结合的典型题型，解题核心是通过添加辅助线，利用重心的性质和等积变换规律，将各部分面积用同一参数表示，进而求出比值，能有效考查学生对几何基础性质的应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
