【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成总天数。（1）求乙单独完成的天数，可设乙单独完成需x天，得到乙的工作效率为$\frac{1}{x}$；再根据“乙先单独做10天，剩下的两队合做20天完成”，可知乙一共工作了30天，甲工作了20天，两者工作量之和等于总工作量1，据此列分式方程求解，注意求解后要检验根是否符合实际意义。（2）求两队合作的天数，先算出甲乙的效率和，再用总工作量1除以效率和即可得到合作时间。
【解析】
（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，将总工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{40}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意，乙共工作了$10+20=30$天，甲工作了20天，总工作量为1，列方程得：
$\frac{30}{x} + \frac{20}{40} = 1$
化简得：$\frac{30}{x} + \frac{1}{2} = 1$
移项得：$\frac{30}{x} = \frac{1}{2}$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，分母$x≠0$，所以$x=60$是原分式方程的解，且符合工程实际意义。
（2）设两队合作完成这项工程需要y天，甲乙合作的工作效率为$\frac{1}{40}+\frac{1}{60}$，根据总工作量=效率和×合作时间，得：
$(\frac{1}{40}+\frac{1}{60})y=1$
通分计算效率和：$\frac{3}{120}+\frac{2}{120}=\frac{1}{24}$
所以$\frac{1}{24}y=1$，解得$y=24$
【答案】
（1）60天；（2）24天
【知识点】
分式方程应用、工程问题、工作量计算
【点评】
本题是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，根据工作量的等量关系列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义，属于常规基础题型，掌握工程问题的基本等量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）本问是分式方程的实际应用，我们先设A型垃圾桶的单价为未知数，即可表示出B型垃圾桶的单价，再结合“250元购进A型垃圾桶的数量与350元购进B型垃圾桶的数量相等”的等量关系列方程求解，注意分式方程求出解后必须检验是否符合题意。
（2）本问是不等式组的方案设计问题，我们设购进A型垃圾桶的数量为未知数，就能用总数量表示出B型垃圾桶的数量，再根据“总费用不超过600元”“A型垃圾桶的个数不多于B型垃圾桶的个数的2倍”两个不等关系列不等式组，求出未知数的取值范围，结合垃圾桶数量为正整数的实际条件，找出符合要求的整数解即可得到购买方案。
【解析】
（1）解：设购买一个A型垃圾桶需要$x$元，则购买一个B型垃圾桶需要$(x+20)$元。
根据题意列方程：
$\frac{250}{x}=\frac{350}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$去分母得：
$250(x+20)=350x$
展开整理得：$250x+5000=350x$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+20)=50×70=3500≠0$，所以$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则B型垃圾桶单价为：$x+20=50+20=70$（元）
（2）解：设购进A型垃圾桶$m$个，则购进B型垃圾桶$(10-m)$个。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}50m+70(10-m)≤600 ①\\m≤2(10-m) ②\end{cases}$
解不等式①：
$50m+700-70m≤600$
$-20m≤-100$
解得：$m≥5$
解不等式②：
$m≤20-2m$
$3m≤20$
解得：$m≤\frac{20}{3}\approx6.67$
所以不等式组的解集为$5≤ m≤\frac{20}{3}$
因为$m$为正整数，所以$m$的取值为5、6：
当$m=5$时，$10-m=5$，即购进A型5个，B型5个；
当$m=6$时，$10-m=4$，即购进A型6个，B型4个。
【答案】
（1）购买一个A型垃圾桶需要50元，购买一个B型垃圾桶需要70元；
（2）小区共有两种购买方案：A型6个，B型4个；A型5个，B型5个。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题结合生活垃圾分类的实际情境命题，考查方程与不等式的实际应用能力，解题核心是准确提取题干中的等量、不等关系，注意分式方程必须验根，最终方案要符合实际场景的整数要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时通常将总工作量设为1，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系分析。
（1）先设乙队单独完成工程需要x天，根据“甲队单独完成天数是乙队的$\frac{2}{3}$”，可得甲队单独完成需要$\frac{2}{3}x$天，进而表示出两队的工作效率。再找等量关系：甲队先做10天的工作量 + 甲乙两队合作30天的工作量 = 总工作量1，列分式方程求解，注意解完要验根。
（2）先根据“合作工作时间=总工作量÷两队效率和”算出甲乙合作需要的天数，再计算总施工费用，和预算的500万元比较，判断是否够用，差额就是需要追加的费用。
【解析】
（1）设乙队单独完成这项工程需要$x$天，则甲队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3}x$天，将总工作量记为1，则甲队的工作效率为$\frac{1}{\frac{2}{3}x}=\frac{3}{2x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意，甲队一共工作了$10+30=40$天，乙队工作了30天，总工作量为1，可列方程：
$\frac{40}{\frac{2}{3}x} + \frac{30}{x} = 1$
化简得：
$\frac{60}{x} + \frac{30}{x} = 1$
即$\frac{90}{x}=1$，解得$x=90$。
检验：当$x=90$时，$\frac{2}{3}x=60≠0$，$x=90$是原分式方程的解，且符合实际意义。
所以甲队单独完成需要$\frac{2}{3}×90=60$天，乙队单独完成需要90天。
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要$y$天，根据题意得：
$(\frac{1}{60}+\frac{1}{90})y=1$
通分计算括号内的和：$\frac{3+2}{180}y=1$，即$\frac{1}{36}y=1$，解得$y=36$。
计算所需总施工费用：$36×(8.4+5.6)=36×14=504$（万元）。
因为$504＞500$，所以预算的施工费用不够，需要追加的预算为$504-500=4$（万元）。
【答案】
（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；
（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；有理数混合运算
【点评】
本题是工程类应用题的常考题型，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确梳理不同施工阶段的工作量，找到等量关系列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义，第二问结合费用计算考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65