【分析】
解题时首先回忆等边三角形的基本性质：等边三角形三个内角均为60°，且中线、高、角平分线三线重合。要求两条中线所夹的钝角，可先利用三线合一得到两条中线平分对应内角，得到小角的度数，再借助三角形内角和定理计算两条中线的夹角即可。
【解析】
设等边△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的中线，两中线交于点O。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
根据等边三角形三线合一的性质，中线BD平分∠ABC，中线CE平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
在△OBC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°，
即两条中线所夹的钝角度数为120°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等边三角形相关性质的应用，解题的核心是利用三线合一将中线转化为角平分线，得到小角的度数后结合内角和即可求解，需熟练掌握特殊三角形的基本性质。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先结合等边三角形“三边相等、三个内角均为60°”的性质，依次验证三个结论：①先推导两边及夹角对应相等，用SAS判定△ACE和△DCB全等；②在①全等的基础上，推导角和边的等量关系，用ASA判定另一组三角形全等，验证CM=CN是否成立；③结合全等的结论和三角形“大角对大边”的性质，判断AC和DN的大小关系，最终统计正确结论的个数。
【解析】
已知$△ DAC$和$△ EBC$均为等边三角形，因此：
$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE=60°$。
1. 验证结论①：
$∠ ACD+∠ DCE=∠ BCE+∠ DCE$，即$∠ ACE=∠ DCB$，
在$△ ACE$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AC=DC\\∠ ACE=∠ DCB\\CE=CB\end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，故①正确。
2. 验证结论②：
$\because A、C、B$共线，$\therefore ∠ DCN=180°-∠ ACD-∠ BCE=60°$，即$∠ ACM=∠ DCN=60°$，
由$△ ACE≌△ DCB$可得$∠ CAM=∠ CDN$，
在$△ ACM$和$△ DCN$中：
$\begin{cases}∠ CAM=∠ CDN\\AC=DC\\∠ ACM=∠ DCN\end{cases}$
$\therefore△ ACM≌△ DCN(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CM=CN$，故②正确。
3. 验证结论③：
由$△ ACM≌△ DCN$得$DN=AM$，
在$△ ACM$中，$∠ AMC=180°-∠ ACM-∠ CAM=120°-∠ CAM＞60°=∠ ACM$，
根据三角形大角对大边的性质，可得$AC＞AM$，因此$AC＞DN$，故③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】B
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形章节的典型题型，解题的核心是从等边三角形的性质出发，挖掘边、角的等量关系，逐步推导验证各个结论，需要熟练掌握全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知的相等边入手，首先观察到AP、AQ、PQ三条边相等，可先判定△APQ是等边三角形，得到其三个内角均为60°；再结合BP=AP、QC=AQ，可知△ABP和△AQC都是等腰三角形，利用三角形外角的性质可求出∠B和∠C的度数；最后根据三角形内角和为180°，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵$AP=AQ=PQ$，
∴$△ APQ$是等边三角形，
∴$∠ APQ=∠ AQP=∠ PAQ=60°$。
∵$BP=AP$，
∴$△ ABP$是等腰三角形，$∠ B=∠ BAP$，
又
∵$∠ APQ$是$△ ABP$的外角，
∴$∠ APQ=∠ B+∠ BAP=2∠ B=60°$，
解得$∠ B=30°$。
同理，
∵$QC=AQ$，
∴$△ AQC$是等腰三角形，$∠ C=∠ CAQ$，
∵$∠ AQP$是$△ AQC$的外角，
∴$∠ AQP=∠ C+∠ CAQ=2∠ C=60°$，
解得$∠ C=30°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
120
【知识点】
等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是先识别出等边三角形，再结合等腰三角形性质和外角性质求出底角度数，最后利用内角和计算所求角，能很好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先利用等边三角形的内角为60°求出其邻补角∠GCD的度数；再根据CG=CD可知△CGD为等腰三角形，结合三角形内角和求出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE可知△DEF为等腰三角形，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可建立∠CDG与∠E的数量关系，求出∠E的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠GCD=180°-∠ACB=120°。
∵CG=CD，
∴△CGD是等腰三角形，∠CGD=∠CDG，
∴∠CDG=(180°-∠GCD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
∵DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE。
又
∵∠CDG是△DEF的外角，
∴∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E，
∴∠E=30°÷2=15°。
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的角度特征，结合外角定理逐步推导角度关系，是等腰、等边三角形相关的典型常考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先明确方位角对应规则：上北下南、左西右东，图中竖直虚线为南北方向、水平虚线为东西方向。第一步先求∠APB的度数：A在P的北偏东30°，B在P的正东方向，正北与正东夹角为90°，因此∠APB=90°-30°=60°；第二步求∠PAB的度数：从A点看P是南偏西30°，海轮航行方向是南偏东30°，两个方向的夹角即为∠PAB=30°+30°=60°；第三步判定△APB的形状：三角形内角和为180°，可得第三个角也为60°，故△APB是等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可得AB的长度等于AP的长度。
【解析】
解：根据方位角的性质：
1. 计算∠APB：A在灯塔P北偏东30°，B在P正东，正北与正东夹角为90°，因此$∠ APB=90°-30°=60°$；
2. 计算∠PAB：从A处观测P为南偏西30°，海轮航行方向为南偏东30°，因此$∠ PAB=30°+30°=60°$；
3. 在$△ APB$中，$∠ ABP=180°-∠ APB-∠ PAB=180°-60°-60°=60°$，因此$△ APB$三个内角均为60°，是等边三角形；
4. 由等边三角形三边相等得：$AB=AP=4$海里。
【答案】
4
【知识点】
方位角的应用，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题将方位角与等边三角形的知识结合考察，解题核心是准确根据方位角推导三角形的内角度数，进而判定三角形形状得到边长关系，是几何基础应用题。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中BD属于△ABD，CE属于△BCE，结合等边三角形边相等、内角为60°的性质，再搭配已知条件AD=BE，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。
（2）由第一问的全等可得对应角相等，通过角的等量代换可推出∠FPC=60°，再结合CF⊥BD得到直角△CFP，利用直角三角形中30°角对应的直角边是斜边一半的性质，即可求出PF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE \\∠A=∠EBC \\AB=BC\end{array} $
∴ △ABD≌△BCE（SAS），
∴ BD=CE。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得∠ABD=∠BCE，
∵ ∠ABD+∠DBC=∠ABC=60°，
∴ ∠BCE+∠DBC=60°，
∵ ∠FPC是△PBC的外角，
∴ ∠FPC=∠BCE+∠DBC=60°，
∵ CF⊥BD，
∴ ∠CFP=90°，
∴ 在Rt△CFP中，∠PCF=90°-60°=30°，
∴ 30°角对应的直角边PF=$\frac{1}{2}$CP，
代入CP=7，得PF=$\frac{1}{2}×7=3.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) PF=3.5
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形章节的典型题型，第一问侧重基础全等判定的应用，第二问需要通过全等转化角的关系，结合特殊直角三角形的性质求解，能有效考察几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7