【分析】
(1)要证明△DEF是等腰三角形，需证该三角形有两条边相等，观察图形可尝试证DE=EF，因此考虑证明DE、EF所在的△DBE和△ECF全等。首先由AB=AC，根据等腰三角形等边对等角可得∠B=∠C，再结合已知的BE=CF、BD=CE，可通过SAS判定△DBE≌△ECF，进而得到DE=EF，即可证得结论。
(2)要求∠DEF的度数，首先根据全等三角形的性质可得对应角相等，即∠1=∠3；先利用三角形内角和定理，结合等腰△ABC的顶角∠A=40°，算出底角∠B的度数，再在△DBE中根据内角和得到∠1+∠2的度数，通过等量代换得到∠2+∠3的度数，最后结合平角为180°，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
(1)证明：$\because AB = AC, \therefore ∠ABC =∠ACB$。
在$△ DBE$ 和$△ ECF$ 中,
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ ABC=∠ ACB, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ ECF(\mathrm{SAS}),\therefore DE=EF$，
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形。
(2)解：$\because △ DBE≌△ ECF,\therefore ∠ 1=∠ 3,∠ 2=∠ 4$。
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,∠A=40°,∠B=∠C$，
$\therefore ∠ B = \frac{1}{2}(180°-40°)=70°$，
在$△ DBE$中，$∠1+∠2=180°-∠B=110°$，
$\therefore ∠ 3+∠ 2=110°$，
$\therefore ∠ DEF=180°-(∠2+∠3)=70°$。
【答案】
(1)△DEF是等腰三角形，证明见上述过程；
(2)$∠DEF=70°$。

【知识点】
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握SAS全等判定定理，通过全等实现边、角的等量转化，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证DE是∠ADC的平分线，可利用角平分线的判定定理，证明点E到DC和AD的距离相等。已知AE平分∠DAB，∠B是直角，过E作EF⊥AD，由角平分线性质得EF=BE，结合E是BC中点得CE=BE，推出CE=EF，即可得证。
(2) 结合(1)的结论，根据角平分线的性质，可得CD=DF，AB=AF，因此AD的长度等于CD与AB的和，代入数值计算即可。
(3) 已知E是BC中点且AE⊥DE，可延长AE交DC的延长线于点N，先证△AEB≌△NEC得到AE=EN，推出DE是AN的垂直平分线，得AD=DN，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明DE平分∠ADC。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，过点E作EF⊥AD。
∵ AE平分∠DAB，∠B=90°，EF⊥AD，
∴ EF=BE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ CE=BE，
∴ CE=EF。
∵ ∠C=90°，EF⊥AD，
∴ DE是∠ADC的平分线（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(2) 由(1)可知，AE平分∠DAB，DE平分∠ADC，根据角平分线的性质得CD=DF，AB=AF，因此AD=AF+DF=AB+CD=2+3=5。
(3) 证明：如图(2)，延长DC、AE交于点N。
∵ ∠B=∠DCB=90°，
∴ ∠B=∠ECN=90°。
在△AEB和△NEC中：
$\begin{cases}∠B=∠ECN \\BE=CE \\∠AEB=∠CEN\end{cases}$
∴ △AEB≌△NEC（ASA），
∴ AE=EN。
∵ AE⊥DE，
∴ DE是线段AN的垂直平分线，
∴ AD=DN，即△ADN为等腰三角形。
又
∵ DE⊥AN，
∴ DE是∠ADC的平分线（等腰三角形三线合一）。
【答案】
(1) 证明:如图(1),过点 $E$ 作$EF⊥ AD. \because AE$ 平分$∠ DAB,∠ B=90°,EF⊥ AD,\therefore EF=BE. \because E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore CE=BE,\therefore CE=EF. \because ∠ C=90°,EF⊥ AD,\therefore DE$ 是$∠ ADC$ 的平分线.
(2) 5
(3) 证明:如图(2),延长 $DC,AE$ 交于点 $N,\because ∠ B=∠ DCB=90°,\therefore ∠ B=∠ ECN=90°. \because CE=BE,∠ AEB=∠ CEN, \therefore △ AEB ≌△ NEC (\mathrm{ASA}),\therefore AE=EN. \because AE⊥ DE,\therefore DE$ 是线段 $AN$ 的垂直平分线,$\therefore AD=DN. \because AE⊥ DE,\therefore DE$ 是$∠ ADC$ 的平分线(三线合一).

【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，重点考查角平分线、全等三角形、等腰三角形的相关知识，解题的核心是根据已知条件合理构造辅助线，建立已知条件和待证结论之间的关联，能有效提升几何推理和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 首先△ABC是等边三角形，∠B=60°，点P在线段AB上，因此△PBC为直角三角形时仅存在∠BPC=90°的情况；根据含30°角的直角三角形边的关系求出BP长度，再计算AP长度，结合点P的速度即可求出t。
(2) △PBQ中∠B=60°，为直角三角形时需分两种情况讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，分别根据30°直角三角形的边的比例关系列方程求解，注意验证t的取值符合运动范围。
(3) △PCD和△QCD有公共底CD，要判断面积关系只需证明两点到AC的距离相等；通过作两条垂直于AC的高，构造全等三角形证明两条高相等，即可得到两三角形同底等高，面积相等。
【解析】
(1)
∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴∠B=60°，BC=10cm。
结合点P在线段AB上，△PBC为直角三角形时∠BPC=90°，
∴∠BCP=30°，
∴$BP=\frac{1}{2}BC=5\mathrm{cm}$，
∴$AP=AB-BP=10-5=5\mathrm{cm}$，
∵点P的速度为1cm/s，
∴$t=5÷1=5\mathrm{s}$。
(2) 由题意得：$BP=(10-t)\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$，点Q到C时停止运动，因此$0≤ t≤5$。
分两种情况讨论：
①当$∠ BPQ=90°$时，$∠ B=60°$，
∴$∠ BQP=30°$，
∴$BP=\frac{1}{2}BQ$，代入得$10-t=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=5$，符合取值范围；
②当$∠ BQP=90°$时，$∠ B=60°$，
∴$∠ BPQ=30°$，
∴$BQ=\frac{1}{2}BP$，代入得$2t=\frac{1}{2}(10-t)$，解得$t=2$，符合取值范围。
综上，t的值为2或5。
(3) 两个三角形面积相等，理由如下：
过点P作$PE⊥ AC$于E，过点Q作$QG⊥ AC$交AC延长线于G，
则$∠ AEP=∠ G=90°$，
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ A=∠ ACB=60°$，
∴$∠ QCG=∠ ACB=60°$，即$∠ A=∠ QCG$，
由题意得$AP=t\mathrm{cm}$，$CQ=t\mathrm{cm}$，
∴$AP=CQ$，
在$△ AEP$和$△ CGQ$中：
$\begin{cases}∠AEP=∠G \\∠A=∠QCG \\AP=CQ\end{cases}$
∴$△ AEP≌△ CGQ(\mathrm{AAS})$，
∴$PE=QG$，即点P、Q到直线AC的距离相等，
∵△PCD和△QCD以CD为公共底，对应高相等，
∴$S_{△ PCD}=S_{△ QCD}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{t=2}$或$\boldsymbol{5}$
(3) 相等，理由见解析，辅助线如下图：

【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 含30°角的直角三角形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形结合动点的综合题，考察了分类讨论的数学思想，解决动点问题时要先梳理运动过程，避免漏解；证明三角形面积相等时，同底等高的转化思路是常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6