4. (1) 如果$x^2 + mx +1=(x+n)^2$，且$m＞0$，则$n$的值是
1
；
(2) 若$a+b=3$，$ab=2$，则$(a-b)^2=$
1
。
答案：4. (1) 1；(2) 1
解析：
【分析】
(1) 解题思路：先利用完全平方公式将等式右侧的完全平方式展开，再根据多项式相等时对应项系数相等的性质，得到关于m、n的关系式，最后结合m＞0的条件确定n的值。
(2) 解题思路：先回忆完全平方公式的变形关系，将所求的$(a-b)^2$转化为含有$(a+b)$和$ab$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 先展开等式右侧：$(x+n)^2=x^2+2nx+n^2$
已知$x^2 + mx +1=(x+n)^2$，因此等式左右两边对应项系数相等，可得：
$\begin{cases}n^2=1 \\ m=2n \end{cases}$
因为$m＞0$，所以$2n＞0$，即$n＞0$，因此$n=1$。
(2) 根据完全平方公式的变形：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a^2+2ab+b^2)-4ab=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式：
$(a-b)^2=3^2 - 4×2=9-8=1$
【答案】
(1) 1；(2) 1
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，第一题考查完全平方展开后对应系数相等的应用，第二题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握完全平方公式的结构和常用变形是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 完全平方公式的几何解释：
由图(1)可以看出大正方形的边长是
$a + b$
，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和. 用式子表示为
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
. 观察图(2)，利用面积关系可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
.
答案：5. $a + b$；$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
解析：
【分析】
先观察图(1)的大正方形：横向和纵向的边长都由长度为a、b的两段拼接而成，可直接得到边长；再分别用整体法（边长平方算总面积）和分割法（四个组成部分面积相加）计算大正方形面积，二者相等即可得到和的完全平方公式。接着观察图(2)：阴影部分是正方形，先确定其边长为(a-b)，再分别用整体法（阴影边长平方算面积）和面积差法（大正方形面积减空白部分面积）计算阴影面积，二者相等即可得到差的完全平方公式。
【解析】
1. 确定图(1)大正方形的边长：观察图(1)，大正方形横向边长为a与b的和，纵向边长也为a与b的和，因此边长为$a+b$。
2. 推导和的完全平方公式：整体计算大正方形面积为$(a+b)^2$；分割计算时，两个小正方形面积分别为$a^2$、$b^2$，两个完全相同的长方形总面积为$2ab$，四部分面积和为$a^2+2ab+b^2$，同一图形面积相等，因此有$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
3. 推导差的完全平方公式：图(2)中阴影正方形的边长为$a-b$，整体面积为$(a-b)^2$；用面积差计算时，边长为a的大正方形面积为$a^2$，减去两个长a宽b的长方形面积共$2ab$，再补回多减去的边长为b的小正方形面积$b^2$，可得阴影面积为$a^2-2ab+b^2$，同一图形面积相等，因此有$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
【答案】
$a + b$；$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
【知识点】
完全平方公式，面积法推导，正方形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的面积关系直观推导完全平方公式，将抽象代数公式转化为直观图形问题，渗透了数形结合的数学思想，能够帮助学生更深刻地理解完全平方公式的来源和含义。
【难度系数】
0.8
6. 运用乘法公式计算：
(1) $(1-xy)^2$；
(2) $(\dfrac{1}{3}m+\dfrac{1}{2}n)^2$；
(3) $298^2 - 301^2$；
(4) $(a+3)^2 - (a+1)(a-3)$；
(5) $(m+n)(m-n)(m^2 - n^2)$；
(6) $(2x-3y-z)(z-3y-2x)$；
(7) $(m+n)^2(m-n)^2$；
(8) $(3x-1)^2 - (2x+5)^2$。
答案：6. (1) $1 - 2xy + x^2y^2$；(2) $\dfrac{1}{9}m^2 - \dfrac{1}{3}mn + \dfrac{1}{4}n^2$；(3) $-1797$；(4) $8a+12$；(5) $m^4 - 2m^2n^2 + n^4$；(6) $9y^2 - 4x^2 + 4xz - z^2$；(7) $m^4 - 2m^2n^2 + n^4$；(8) $5x^2 - 26x - 24$
解析：
【分析】
本组题目均考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：1. 先观察式子的结构特征，判断适用完全平方公式$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$还是平方差公式$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$；2. 对于可简便运算的式子（如第(3)(7)(8)题），可先通过变形（逆用积的乘方、直接套用平方差公式）简化计算步骤，再套用公式展开；3. 展开后若有同类项，需合并同类项得到最终结果，运算中注意符号的准确性。
【解析】
(1) 套用完全平方差公式，令$a=1$，$b=xy$：
原式$=1^2 - 2×1· xy + (xy)^2 = 1 - 2xy + x^2y^2$
(2) 套用完全平方差公式，令$a=\frac{1}{3}m$，$b=\frac{1}{2}n$：
原式$=(\frac{1}{3}m)^2 - 2×\frac{1}{3}m·\frac{1}{2}n + (\frac{1}{2}n)^2 = \frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{4}n^2$
(3) 套用平方差公式，令$a=298$，$b=301$：
原式$=(298-301)×(298+301) = (-3)×599 = -1797$
(4) 分别展开后合并同类项：
原式$=(a^2 + 6a + 9) - (a^2 - 3a + a - 3)$
$=a^2 + 6a + 9 - a^2 + 2a + 3$
$=8a + 12$
(5) 前两项先套用平方差公式，再套用完全平方公式：
原式$=(m^2 - n^2)(m^2 - n^2) = (m^2 - n^2)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4$
(6) 变形构造平方差公式后展开：
原式$=[(-3y) + (2x - z)][(-3y) - (2x - z)]$
$=(-3y)^2 - (2x - z)^2$
$=9y^2 - (4x^2 - 4xz + z^2)$
$=9y^2 - 4x^2 + 4xz - z^2$
(7) 逆用积的乘方变形后依次套用平方差、完全平方公式：
原式$=[(m+n)(m-n)]^2 = (m^2 - n^2)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4$
(8) 套用平方差公式简化计算：
原式$=[(3x-1)+(2x+5)][(3x-1)-(2x+5)]$
$=(5x + 4)(x - 6)$
$=5x^2 - 30x + 4x - 24$
$=5x^2 - 26x - 24$
【答案】
(1) $1 - 2xy + x^2y^2$；(2) $\dfrac{1}{9}m^2 - \dfrac{1}{3}mn + \dfrac{1}{4}n^2$；(3) $-1797$；(4) $8a+12$；(5) $m^4 - 2m^2n^2 + n^4$；(6) $9y^2 - 4x^2 + 4xz - z^2$；(7) $m^4 - 2m^2n^2 + n^4$；(8) $5x^2 - 26x - 24$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式混合运算
【点评】
本题侧重考察乘法公式的识别与灵活运用，部分题目需要先对原式变形才能匹配公式，运算过程中需注意符号变化，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
