1. 设$a,b$是实数,定义$@$的一种运算如下:$a@b=(a+b)^2-(a-b)^2$,则下列结论:
① 若$a@b=0$,则$a=0$或$b=0$;
② $a@(b+c)=a@b+a@c$;
③ 不存在实数$a,b$,满足$a@b=a^2+5b^2$;
④ 设$a,b$是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当$a=b$时,$a@b$最大.
以上结论正确的有哪些?
答案：1. ①②④
解析：
【分析】
首先先理解新定义运算@的运算规则，第一步利用完全平方公式将a@b的表达式展开化简，得到最简形式后，再逐个对四个结论进行验证：①令化简后的运算结果为0，判断解的情况；②分别计算等式左右两边的表达式，验证是否相等；③令a@b=a²+5b²，通过配方判断是否存在实数解；④结合矩形周长固定的条件，将a@b的最值转化为矩形面积的最值问题判断。
【解析】
首先利用完全平方公式化简a@b：
$\begin{aligned}a@b&=(a+b)^2-(a-b)^2\\&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=4ab\end{aligned}$
逐个判断结论：
①若$a@b=0$，即$4ab=0$，可得$ab=0$，因此$a=0$或$b=0$，故①正确；
②左边：$a@(b+c)=4a(b+c)=4ab+4ac$，右边：$a@b+a@c=4ab+4ac$，左边=右边，故②正确；
③若$a@b=a^2+5b^2$，即$4ab=a^2+5b^2$，整理得$a^2-4ab+5b^2=0$，配方可得$(a-2b)^2+b^2=0$，根据平方的非负性，当$a=0,b=0$时等式成立，因此存在实数$a,b$满足条件，故③错误；
④设矩形周长为定值$C$，则$2(a+b)=C$，即$a+b=\frac{C}{2}$为定值，$a@b=4ab$，周长固定的矩形中，当$a=b$（即矩形为正方形）时，面积$ab$最大，因此此时$a@b$最大，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，代数式最值
【点评】
本题将新定义运算与完全平方公式结合，考查代数化简、方程解的判断以及最值分析，需要先准确化简新定义的运算式，再逐一验证各结论，侧重对代数运算能力和知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$，试判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论.
答案：2. $△ ABC$是等边三角形。证明如下$\because a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$，$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc$，$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0$，即$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0$，$\therefore (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$，$\therefore a-b=0,a-c=0,b-c=0$，得$a=b,a=c,b=c$，即$a=b=c$，所以$△ ABC$是等边三角形。
解析：
【分析】
要判断△ABC的形状，需明确三边a、b、c的数量关系。已知等式包含三边的平方和与两两乘积，符合完全平方公式的结构特征，因此优先考虑通过配方变形求解：首先给等式两边同时乘2，构造出完全平方公式所需的项，再拆分为三个完全平方式相加的形式，最后利用平方的非负性推导三边的等量关系即可。
【解析】
证明：$\because a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$
$\therefore$ 等式两边同乘2得：$2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc$
移项得：$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0$
拆分分组得：$(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$
由完全平方公式因式分解得：$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$
$\because$ 平方数为非负数，即$(a-b)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$
$\therefore$ 三个非负数的和为0时，每个式子均为0，即$a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$
解得$a=b$，$a=c$，$b=c$，即$a=b=c$
因此△ABC为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是整式运算与三角形判定结合的典型题，核心考查完全平方公式的配方技巧，解题关键是通过等式乘2构造完全平方式，再结合非负数性质推导边长关系，能够很好地检验知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
