例2 如图5.2.1，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动.开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处……）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作.
（1）从点A开始，掷一次骰子后到点C处的概率是
$\frac{1}{3}$
；
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
答案：（1）
∵骰子是一个正方体，六个面上的数字依次是1,2,3,4,5,6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到点C时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从点A开始，掷一次骰子后到点C处的概率是$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（2）两次掷骰子的结果如下表所示：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
从上表得：总共有36种可能的结果，要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4,8或12，由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4,8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为$P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
解析：
【分析】
（1）第一问先明确掷骰子共有6种等可能的结果，结合正方形顶点移动周期为4的规律，找出从A出发移动到C对应的符合条件的点数，再代入概率公式计算即可。
（2）第二问要使第二次掷骰子后回到A点，两次掷得的点数总和需为4的倍数（每移动4步就回到原起点），用列表法列出两次掷骰子的所有等可能结果，统计出点数和为4、8、12的结果数，再代入概率公式计算概率。
【解析】
（1）
∵骰子六个面的点数为1,2,3,4,5,6，共6种等可能的结果，
从A出发移动到C，移动步数除以4余2，符合条件的点数为2、6，共2种结果，
∴掷一次骰子后到点C处的概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）两次掷骰子的所有等可能结果如下表：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，要回到A点，两次点数和为4的倍数，即和为4、8、12，符合条件的结果共9种，
∴第二次掷骰子后棋子回到点A处的概率$P=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，周期规律应用
【点评】
本题将周期规律和概率计算结合考查，第一问较为基础，只需找准移动到目标点的符合条件的点数即可；第二问需要先明确两次总步数的特征，再通过列表法枚举所有情况计数，考查学生的逻辑分析能力和枚举计数的细心程度，避免漏算、错算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
