【分析】本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先明确古典概型中概率的计算方法为所求事件包含的结果数除以所有等可能的结果总数；第一步先统计单词“mathematics”的总字母数，即所有等可能的选择结果总数；第二步统计其中字母“a”的个数，即选中“a”这个事件包含的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】首先统计单词“mathematics”的总字母数：逐个计数可得该单词共有11个字母，任意选择一个字母时，每个字母被选中的可能性相等；再统计字母“a”的个数，可知“a”在单词中总共出现2次。根据概率计算公式：$P(\mathrm{选中字母a})=\frac{\mathrm{字母a的个数}}{\mathrm{总字母数}}=\frac{2}{11}$，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】古典概型、概率计算公式
【点评】本题是概率基础题型，核心考查对概率公式的应用，解题的易错点在于统计总字母数或目标字母个数时出现计数错误，做题时注意仔细计数即可。
【难度系数】0.9

【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先确定所有等可能的结果总数，再找到目标事件“恰好选中烹饪”对应的结果数，最后利用等可能事件的概率公式：概率=目标事件结果数÷所有等可能结果数，代入计算即可得到答案。
【解析】
解：已知共有4门课程，且每门课程被选中的可能性相等，因此所有等可能的选择结果共有4种；
其中恰好选中“烹饪”的结果只有1种；
根据等可能事件的概率公式可得，小明恰好选中“烹饪”的概率为$\frac{1}{4}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，难度较低，主要考查对简单随机事件概率计算方法的理解与运用，熟练掌握概率公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
这是一道几何概率问题，解题核心是计算白色区域面积与平行四边形总面积的比值。思考步骤如下：①首先回忆几何概率的计算规则：飞镖落在某区域的概率=该区域面积÷总区域面积，因此只需算出白色区域的面积占比即可；②结合平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心，且两条对角线会把平行四边形分成4个面积相等的三角形，每个小三角形面积为总面积的$\frac{1}{4}$；③观察阴影部分，根据中心对称的性质，两个阴影三角形的面积和恰好等于1个小三角形的面积，即可得到阴影部分的面积占比，进而求出白色区域的面积占比。
【解析】
∵平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点为其对称中心，且平行四边形的对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，
∴每个小三角形的面积为平行四边形总面积的$\frac{1}{4}$。
根据中心对称的性质，图中两个阴影部分的面积之和等于1个小三角形的面积，即阴影部分总面积占平行四边形总面积的$\frac{1}{4}$。
∴白色区域面积占平行四边形总面积的比值为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
∵飞镖落在纸板任意一点的机会均等，
∴飞镖落在白色区域的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概率计算，平行四边形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题将概率计算与图形性质相结合，解题的关键是利用平行四边形的中心对称性快速判断阴影部分的面积占比，不需要复杂的面积计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题属于两步事件的古典概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确每辆车的行驶方向有直行、左拐、右拐3种等可能的情况，我们可以通过列表法或树状图法列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，再从中筛选出“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果数，最后代入古典概型的概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用列表法列举两辆车行驶方向的所有等可能结果（记直行为直，左拐为左，右拐为右）：
|第一辆车\第二辆车|直|左|右|
|---|---|---|---|
|直|（直，直）|（直，左）|（直，右）|
|左|（左，直）|（左，左）|（左，右）|
|右|（右，直）|（右，左）|（右，右）|
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果有2种：（直，左）、（左，直）。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
1.列举法求概率 2.古典概型概率公式
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确列举所有等可能的结果，注意题干要求的“恰好一车直行、一车左拐”包含两种不同的顺序，解题时要避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题需分两步进行：首先回忆正比例函数图象性质，明确y=kx的图象经过第二、四象限的前提是k＜0；其次统计所有等可能的取数结果数，以及满足k＜0的结果数，最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
1. 确定正比例函数过第二、四象限的条件：对于正比例函数$y=kx$，当$k＜0$时，其图象经过第二、四象限。
2. 统计情况数：给定的数共有$-2,1,2,5,8$共5个，任取一个数共有5种等可能的结果；其中满足$k＜0$的数只有$-2$，共1种符合要求的结果。
3. 计算概率：根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
正比例函数图象性质、概率公式
【点评】
本题是正比例函数与概率的基础综合题，核心是掌握正比例函数图象经过的象限和k的符号的对应关系，再结合概率公式计算即可，侧重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决本题，首先回忆简单事件的概率计算公式：某事件发生的概率 = 该事件对应的情况数 ÷ 所有等可能的总情况数。本题中摸出黄球的对应情况数是黄球的个数a，摸球的总情况数是布袋内所有球的个数之和，结合题目给出的黄球概率为$\frac{1}{2}$，可列出关于a的方程，解方程即可得到a的值。
【解析】
解：布袋内球的总个数为 $3+2+a=5+a$
根据概率公式，摸出黄球的概率为：
$\frac{a}{5+a}=\frac{1}{2}$
去分母得：$2a = 5 + a$
移项、合并同类项得：$a=5$
检验：当$a=5$时，$5+a=10≠0$，符合实际意义。
【答案】
5
【知识点】
概率公式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查概率公式的直接应用，只需准确找到对应情况数和总情况数列式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是电路知识与概率计算结合的综合题，解题思路如下：首先明确随机闭合两个开关的所有等可能情况，再逐一分析每种开关组合下的电路工作状态，筛选出能让两个小灯泡同时发光的情况，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
随机闭合$S_1$、$S_2$、$S_3$中的两个，共有3种等可能的情况：闭合$S_1S_2$、闭合$S_1S_3$、闭合$S_2S_3$。
对每种情况逐一分析：
1. 闭合$S_1$和$S_2$：电流从电源正极出发，经$S_1$、$S_2$后仅通过右侧小灯泡回到负极，下方小灯泡所在支路断开，只有1个小灯泡发光，不符合要求；
2. 闭合$S_1$和$S_3$：电流从电源正极出发，经$S_1$、$S_3$后依次通过下方小灯泡、右侧小灯泡回到负极，两个小灯泡串联接入电路，均能发光，符合要求；
3. 闭合$S_2$和$S_3$：干路开关$S_1$断开，整个电路为断路，两个小灯泡都不发光，不符合要求。
综上，符合要求的情况共1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路通断判断
【点评】
本题属于基础综合题，将电路分析和简单概率计算结合考查，既需要掌握串并联电路的特点、能准确判断不同开关组合下的电路工作状态，也需要熟练掌握等可能事件概率的计算方法，解题时注意不要重复或遗漏开关组合的情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，可按照三步思路推导：第一步先统计网格中所有可供放置点C的格点总数量；第二步结合三角形面积公式，找出所有能使△ABC面积为1的格点C的个数，可通过建立坐标系、利用格点面积计算方法判断符合条件的点，注意不要漏数、多数；第三步根据概率公式，用符合条件的格点个数除以总格点个数，即可得到所求概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，观察网格可知，网格由5行5列的小正方形组成，因此格点总数量为$(5+1) × (5+1) = 36$个。
设点B坐标为$(2,2)$，则点A坐标为$(3,3)$，直线AB的解析式为$y=x$。若△ABC的面积为1，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，AB的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因此点C到直线AB的距离需满足$\frac{1}{2} × \sqrt{2} × h = 1$，解得$h=\sqrt{2}$。
根据点到直线的距离公式，点C$(x,y)$到直线$y=x$的距离为$\frac{|y-x|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，即$|y-x|=2$。
在网格的格点范围内（$0≤ x≤5,0≤ y≤5$）：
当$y=x+2$时，x可取0、1、2、3，对应4个符合条件的格点；
当$y=x-2$时，x可取2、3、4、5，对应4个符合条件的格点；
综上，符合条件的格点C共有$4+4=8$个。
因此所求概率为$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
概率公式，三角形面积计算，格点问题
【点评】
本题综合考查了网格背景下的概率计算和三角形面积的求解，解题核心是准确计数总格点和符合条件的格点，需要熟练掌握格点图形的面积计算方法，避免计数错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路清晰明确：第一步先确定所有等可能的结果总数，我们可以用分步计数原理或者列表法求出所有能组成的两位数的个数；第二步回忆3的倍数的判定特征：一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，从所有结果中筛选出符合要求的两位数的个数；第三步代入古典概型的概率公式：概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的结果数，计算即可得到答案。
【解析】
首先计算所有等可能的结果数：
十位数字从1、2、3、4中任选1个，共4种选择，个位数字从2、3、4中任选1个，共3种选择，我们通过列表枚举所有组成的两位数：
| 十位\个位 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 12 | 13 | 14 |
| 2 | 22 | 23 | 24 |
| 3 | 32 | 33 | 34 |
| 4 | 42 | 43 | 44 |
可知总共有12种等可能的结果。
接下来筛选是3的倍数的两位数：
根据3的倍数的特征，各数位数字之和为3的倍数的数是3的倍数，逐一判断：
12：1+2=3（是3的倍数），13：1+3=4（不是），14：1+4=5（不是）；
22：2+2=4（不是），23：2+3=5（不是），24：2+4=6（是3的倍数）；
32：3+2=5（不是），33：3+3=6（是3的倍数），34：3+4=7（不是）；
42：4+2=6（是3的倍数），43：4+3=7（不是），44：4+4=8（不是）；
符合条件的结果共有4种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 3的倍数的特征
3. 列举法求概率
【点评】
本题是概率与数的整除性质的综合基础题，解题的核心是准确枚举所有结果、正确筛选符合条件的结果，避免漏算或多算符合要求的数，是概率章节的常考题型。
【难度系数】
0.7