【分析】
要判断哪个是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③属于整式方程（即分母中不含未知数）。接下来将每个选项依次对照这三个条件逐一验证，全部满足的即为正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐一分析选项：
选项A：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
选项B：仅含x一个未知数，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的要求；
选项C：方程的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项D：整理后为$3x=6$，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定、分式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定规则的掌握，解题时要注意三个判定条件缺一不可，尤其要留意整式方程的要求，避免误选含分式的选项。
【难度系数】
0.9

【分析】本题为平均增长率类应用题，解题思路为：首先明确增长率问题的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，先以初始产量为基数计算第一年的产量，再以第一年的产量为基数计算第二年的产量，最终结合两年后的实际产量列等式即可。
【解析】已知初始年产量为1.44万台，平均每年增长率为x：
1. 第一年的产量 = 初始产量×(1+增长率) = $1.44(1+x)$ 万台；
2. 第二年在第一年产量的基础上继续增长x，因此第二年的产量 = 第一年产量×(1+增长率) = $1.44(1+x) · (1+x) = 1.44(1+x)^2$ 万台；
3. 由题意可知两年后产量为1.69万台，因此列方程得 $1.44(1+x)^2 = 1.69$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】本题是增长率问题的基础题型，核心是理解复利增长的计算逻辑，不要误将两年增长率直接相加，牢记增长率的计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85

【分析】
遇到这类含等宽曲折道路的面积问题，优先采用平移法简化计算：由于道路宽度处处相等，我们可以将分散的草坪区域通过平移拼接成一个规则的矩形，避免直接计算道路面积时出现重叠部分的误差。平移后新矩形的长为原矩形的长减去道路宽度x，宽为原矩形的宽减去道路宽度x，再结合草坪面积已知的条件即可列出对应方程。
【解析】
我们利用平移法对草坪区域进行转化：
1. 将图中横向的道路向上/下平移，纵向的道路向左/右平移，此时余下的草坪会拼接为一个完整的矩形；
2. 拼接后矩形的长 = 原矩形长 - 道路宽 = $(32 - x)\mathrm{m}$，拼接后矩形的宽 = 原矩形宽 - 道路宽 = $(20 - x)\mathrm{m}$；
3. 已知草坪面积为$540\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：$\boldsymbol{(20-x)(32-x)=540}$，对应选项C。
（错项说明：选项A、D错误使用“减2x”，本题道路是连通的，平移后仅需各减去1次道路宽度即可；选项B等号右侧为道路面积，与题意不符。）
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，核心解题技巧是利用平移将不规则的空白区域转化为规则图形，大幅降低计算难度，同时要注意避免混淆空白面积和道路面积的对应关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解这道题可按以下思路思考：首先，矩形的对角线长可通过勾股定理用两邻边边长表示，即对角线的平方等于两邻边长的平方和；其次，已知两邻边长是一元二次方程的两个实数根，不需要直接解出根的具体值，利用一元二次方程根与系数的关系可快速得到两根之和与两根之积；最后利用完全平方公式的变形，将两边平方和转化为（两根和）²减两倍两根积，代入数值计算得到对角线的平方，开方后即可得到对角线长度。
【解析】
设矩形ABCD的两邻边边长分别为$a$、$b$。
因为$a$、$b$是一元二次方程$x^2 -7x +9=0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a + b = 7$，$ab = 9$。
根据矩形的性质和勾股定理，矩形的对角线长$l$满足：
$l^2 = a^2 + b^2$。
利用完全平方公式变形得$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，代入数值计算：
$a^2 + b^2 = 7^2 - 2×9 = 49 - 18 = 31$。
因此对角线长$l = \sqrt{31}$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，无需直接求解方程的根，灵活运用根与系数的关系和完全平方公式的变形可简化计算，重点考查对基础公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，将带新运算符号的方程转化为我们熟悉的整式方程；其次，题目说明方程有两个不相等的实数根，说明转化后的方程是一元二次方程，需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是根的判别式大于0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义运算$[a,b]★c=ac+b$，将$[x,x+1]★(mx)=0$展开得：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0，即$m≠0$
其次，一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=1$，$c=1$
代入得：$\Delta = 1^2 - 4× m×1 ＞ 0$
即$1 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{1}{4}$
综上，m的取值范围是$m ＜ \frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算；一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题属于新定义与方程结合的基础题，解题的核心是先根据新定义规则将陌生运算转化为常规整式方程，再结合一元二次方程根的情况求解参数范围，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致漏选限制条件。
【难度系数】
0.6

【分析】
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先移项把方程化为标准形式，再用因式分解法求解：第一步将所有含x的项移到等号左侧，第二步对左侧多项式提取公因式因式分解，第三步根据“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的所有解。
【解析】
解：先移项，得 $x^2 - 3x = 0$，
对左侧提取公因式$x$进行因式分解，得 $x(x - 3) = 0$，
因此有 $x=0$ 或 $x - 3 = 0$，
分别求解得 $x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=0,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接在方程两边除以x导致漏解，解题时需先移项整理再选择合适的方法求解，养成检查解是否完整的习惯。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和的计算公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；接下来对应题干中的方程，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$的值，注意系数的符号；最后将$a$、$b$代入公式计算即可得到结果，无需解方程求出具体根再求和，能简化计算。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中方程为$2x^2 - 3x + 1 = 0$，对应可得：$a=2$，$b=-3$。
将$a$、$b$代入两根之和公式：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理公式的记忆与应用，解题时需注意准确识别一次项系数的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9

【分析】
要确定m的取值范围，需结合题目隐含的两个要求：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式Δ＞0。我们只需分别根据这两个条件列出不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(m-1)x^2 -2x +1=0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=m-1$，$b=-2$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 -4×(m-1)×1 ＞ 0$
计算得：$4-4(m-1)＞0$
去括号：$4-4m+4＞0$
合并同类项：$8-4m＞0$
移项化简：$4m＜8$，解得$m＜2$
综上，m的取值范围是$m＜2且m≠1$
【答案】
$m＜2且m≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型应用，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这一隐含条件，仅根据判别式大于0求取值范围，导致结果出错，解题时要注意先挖掘题目隐含的限制条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，若一个数是方程的根，将其代入方程后等式必然成立。因此我们只需把已知根x=1代入原方程，即可得到仅含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的取值。
【解析】
∵ $x=1$是方程$x^2 + ax + 2 = 0$的一个根
∴ 将$x=1$代入方程可得：
$1^2 + a×1 + 2 = 0$
化简得：$1+a+2=0$
合并同类项得：$a+3=0$
解得：$a=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查对方程根的含义的理解，掌握代入法求参数的思路即可快速解题，计算难度较低。
【难度系数】
0.9

【分析】
这是一道平均降价率的应用题，解题思路如下：1. 设平均每次降价的百分率为x，明确降价率的含义：每次降价后价格变为降价前的(1-x)倍；2. 第一次降价后价格为100(1-x)元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此第二次降价后价格为$100(1-x)·(1-x)=100(1-x)^2$元；3. 结合两次降价后价格为81元的条件列方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到答案。
【解析】
解：设平均每次降价的百分率为$x$，根据题意列方程：
$100(1-x)^2=81$
方程两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.81$
开平方得：
$1-x=\pm0.9$
当$1-x=0.9$时，解得$x=0.1=10\%$；
当$1-x=-0.9$时，解得$x=1.9$，降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去。
因此平均每次降价的百分率为10%。
【答案】
$10\%$
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题核心是熟练掌握变化率的计算公式，求解方程后要注意结合实际问题的限制条件检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.8