【分析】
本题考查圆的相关概念辨析，解题时需逐个判断4个命题的真假，结合确定圆的条件、三角形外接圆、外心性质、圆的内接三角形的相关知识点逐一分析即可得出正确结论。解题核心是紧扣相关定义，注意概念的前提限制条件，避免遗漏特殊情况。
【解析】
我们逐个分析每个命题的真假：
① 经过三点一定可以作圆：若三点在同一条直线上，无法作出过这三点的圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，因此①是假命题；
② 任意一个三角形都有外接圆：三角形的三个顶点不在同一直线上，满足确定圆的条件，因此任意三角形都有唯一的外接圆，②是真命题；
③ 任意一个圆有一个内接三角形，且只有一个内接三角形：在圆上任意选取3个不共线的点，连接即可得到一个内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，③是假命题；
④ 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是其外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离都等于外接圆的半径，因此距离相等，④是真命题。
综上，真命题为②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三角形外心的性质；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略“三点不共线”这个确定圆的前提，以及误以为一个圆只有唯一的内接三角形，熟练掌握相关基础定义即可快速解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
要配出与原来大小一致的圆形镜子，首先需要明确确定一个圆的条件：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆。要确定原圆的圆心和半径，就需要碎片上保留有足够长的、属于原圆周的连续弧，这样就能在弧上选取三个不共线的点，通过这三个点还原原圆。接下来对比四块碎片的特征：只有碎片①保留了较长的原圆周连续弧，其余碎片的原圆周残留部分过短，无法满足确定原圆的条件，因此可判断出正确选项。
【解析】
要得到与原来大小相同的圆形镜子，需要确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的圆。
若碎片上保留有足够长的原圆周连续弧，可在弧上任取三个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为原圆的圆心，圆心到弧上点的距离即为原圆的半径，即可还原原圆。
观察四块碎片：碎片①保留了较长的连续原圆周弧，满足还原原圆的条件；碎片②、③、④残留的原圆周部分过短，无法找到足够的原圆周上的点确定原圆。
因此符合要求的是碎片①，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件，圆心的确定方法
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆的相关性质的应用，解题核心是理解保留足够长度的原圆周弧是还原原圆的前提，注重对基础知识点的理解和实际运用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要确定过A、B、C三点的圆的半径，首先明确：过三点的圆的圆心是这三点构成三角形的三边垂直平分线的交点。已知AD垂直平分BC，因此圆心必然在直线AD上，且圆心到A、B两点的距离相等（都等于半径）。我们可以设半径为r，结合勾股定理在直角三角形中建立关于r的方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
设过A、B、C三点的圆的圆心为O，半径为r cm。
∵ AD垂直平分BC，BC=40cm，
∴ 圆心O在直线AD上，$BD=\frac{1}{2}BC=20\mathrm{cm}$，且$OB=OA=r$。
∵ $AD=40\mathrm{cm}$，
∴ $OD=AD-OA=(40-r)\mathrm{cm}$。
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
代入得：$r^2=(40-r)^2+20^2$，
展开计算：$r^2=1600-80r+r^2+400$，
消去$r^2$，整理得：$80r=2000$，
解得：$r=25$。
【答案】
25
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是利用垂直平分线的性质确定圆心的位置，再结合半径相等的特点，用勾股定理建立方程求解，属于基础的几何计算类题目，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题要求圆的半径，已知等边三角形三个顶点都在圆上，说明该圆是等边三角形的外接圆。解题思路：第一步，明确等边三角形的外心（外接圆圆心）和重心重合，都在三角形的高上；第二步，利用勾股定理算出等边三角形的高；第三步，根据重心分中线（高）为2:1的比例，外接圆半径等于高的2/3，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵等边三角形的三个顶点都在圆上，
∴该圆是这个等边三角形的外接圆。
等边三角形的外心与重心重合，位于三角形的高上。
先计算等边三角形的高：
已知边长为12cm，由勾股定理得高$ h = \sqrt{12^2 - (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
∵三角形重心将高（中线）分为长度比为2:1的两段，较长段为外接圆半径，
∴外接圆半径$ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$ 4\sqrt{3} $
【知识点】
等边三角形性质，三角形外接圆，勾股定理
【点评】
本题是外接圆和等边三角形性质结合的基础题型，解题核心是抓住等边三角形多心重合的特点，结合相关几何性质计算，是圆相关基础考点的常见考法。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算残圆的半径，首先需确定圆心位置：根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线必然经过圆心，因此本题中圆心在直线CD上。接下来我们可以设半径为未知数，连接圆心与弦AB的端点A构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：如图，圆心O在直线CD上，连接OA。
∵ CD垂直平分AB，AB=24 cm，
∴ $AD=\dfrac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，且$∠ ADO=90°$。
设原圆形轮片的半径$OA=OC=x\ \mathrm{cm}$，
∵ CD=8 cm，
∴ $OD=OC-CD=(x-8)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，即：
$x^2=12^2+(x-8)^2$
展开方程得：$x^2=144+x^2-16x+64$，
化简得：$16x=208$，
解得：$x=13$。
【答案】
原圆形轮片的半径为13 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是垂径定理的典型实际应用题，解题的关键是利用“弦的垂直平分线过圆心”的性质确定圆心位置，通过构造直角三角形将几何计算转化为方程求解，体现了数形结合思想和方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题的核心是明确：过两点A、B的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，圆心到A、B的距离等于圆的半径。
对于第（1）问：要作半径为3且过A、B的圆，只需找到垂直平分线上到A（或B）距离等于3的点，交点的个数就是可作圆的个数。
对于第（2）问：圆的半径等于圆心到A的距离，结合垂线段最短的性质，可判断半径的最小值，再结合垂直平分线上的点可以无限延伸，判断是否存在最大半径。
【解析】
（1）
∵ 经过A、B两点的圆的圆心必然在线段AB的垂直平分线上，
要求圆的半径为3，即圆心到点A、B的距离均为3，
分别以A、B为圆心，3为半径作弧，两弧与AB的垂直平分线交于2个点，这2个点均可作为满足条件的圆的圆心，
∴ 这样的圆能作2个。
（2）过A、B两点的所有圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，设圆心为O，圆的半径$r=OA=OB$：
① 根据垂线段最短，垂直平分线上到A、B距离最小的点是线段AB的中点，此时$r=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$，因此存在最小圆，圆心为AB的中点，半径为$\frac{1}{2}AB$；
② 线段AB的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，因此垂直平分线上的点到A的距离没有最大值，即半径没有最大值，因此不存在最大圆。
【答案】
（1）经过A,B两点且半径为3的圆,这样的圆能作2个,如图
（2）过A,B两点的所有圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上,由于垂足到点A和B的距离最小,所以过A,B两点的所有圆中,存在最小圆,最小圆的圆心为AB的中点,半径为$\dfrac{1}{2}AB$;由于AB的垂直平分线上点到点A的距离不能确定最大值,所以不存在最大圆.
【知识点】
确定圆的条件，线段垂直平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题围绕过两点的圆的特征展开考查，解题时需要结合垂直平分线的性质分析圆心的位置规律，再结合距离的性质判断半径的最值，能帮助理解确定圆的核心条件。
【难度系数】
0.8