【分析】
(1) 求解FG的长度时，首先明确直角三角形的外接圆直径为斜边，故BE是⊙O的直径。要求弦长FG，可利用垂径定理，过圆心作FG的垂线构造直角三角形：先借助矩形性质和三角形中位线定理求出圆心到FG的距离OM，再计算⊙O的半径，最后用勾股定理求出半弦长，即可得到FG的总长度。
(2) 探索⊙O与AD的位置关系，临界状态为二者相切，此时圆心到AD的距离等于半径。同理作辅助线，结合勾股定理列方程求出相切时CE的长度m，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，分类讨论不同位置关系对应的m的取值范围即可。
【解析】
(1) 如图①，过点O作OM⊥FG，垂足为M，延长MO交BC于点N，连接OG。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°。
∵△BCE是直角三角形，∠C=90°，
∴BE是⊙O的直径。
∵∠C=∠D=∠DMN=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN=CD=AB=4，
∴N为BC中点，即BN=CN。
又
∵OB=OE，
∴ON是△BCE的中位线，
∴$ON=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×2=1$，
∴OM=MN-ON=4−1=3。
在Rt△BCE中，$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
∴⊙O的半径$OG=\frac{1}{2}BE=\sqrt{10}$。
在Rt△OMG中，$MG=\sqrt{OG^2-OM^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-3^2}=1$，
由垂径定理得FG=2MG=2。
(2) 如图②，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N。
由(1)的结论易得：$ON=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}m$，⊙O的半径$OB=OM=MN-ON=4-\frac{1}{2}m$，$BN=\frac{1}{2}BC=3$。
在Rt△BON中，由勾股定理得$ON^2+BN^2=OB^2$，即$(\frac{1}{2}m)^2+3^2=(4-\frac{1}{2}m)^2$，
展开化简得：$\frac{1}{4}m^2+9=16-4m+\frac{1}{4}m^2$，解得$m=\frac{7}{4}$。
结合E不与C、D重合，CE的范围是0＜m＜4，可得：
当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，圆心到AD的距离大于半径，⊙O与AD相离；
当$m=\frac{7}{4}$时，圆心到AD的距离等于半径，⊙O与AD相切；
当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，圆心到AD的距离小于半径，⊙O与AD相交。
【答案】
(1) $FG=2$；
(2) 当$0＜m＜\frac{7}{4}$时，⊙O与AD相离；当$m=\frac{7}{4}$时，⊙O与AD相切；当$\frac{7}{4}＜m＜4$时，⊙O与AD相交。
【知识点】
垂径定理；直线与圆的位置关系；勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形的性质、圆的相关性质及直线与圆位置关系的判定，解题的关键是合理作出垂线段辅助线，结合垂径定理和勾股定理建立等量关系，同时要注意临界情况的分析和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
