【分析】
(1) 扇形计算核心是牢记弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$和扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{1}{2}lr$，已知弧长和半径，先代入弧长公式求圆心角，再代入面积公式求面积即可。
(2) 已知圆心角和扇形面积，直接代入扇形面积公式，解关于半径的方程即可，注意半径为正数。
(3) 莱洛三角形的周长是三条等弧的长度和，每条弧是圆心角为等边三角形内角60°、半径为边长的弧；面积计算时，三个扇形的重叠部分（等边三角形）被重复计算了2次，因此用三个扇形的面积和减去2个等边三角形的面积，即可得到莱洛三角形的面积。
【解析】
(1) 已知弧长$l=6π$，半径$r=4$，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$6π=\frac{nπ × 4}{180}$，约去$π$后解得$n=\frac{6×180}{4}=270$，即圆心角为$270°$；
扇形面积$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×6π×4=12π$。
(2) 已知圆心角$n=60°$，面积$S=6π$，代入面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$6π=\frac{60π r^2}{360}$，化简得$r^2=36$，$\because r＞0$，$\therefore r=6$。
(3) 等边三角形$ABC$内角为$60°$，边长$AB=BC=AC=2$：
① 周长：单条弧长为$\frac{60π ×2}{180}=\frac{2π}{3}$，三条弧总长度为$3×\frac{2π}{3}=2π$，即莱洛三角形周长为$2π$。
② 面积：单个扇形面积为$\frac{60π ×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，三个扇形面积和为$3×\frac{2π}{3}=2π$；
等边三角形$ABC$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；
莱洛三角形面积 = 三个扇形面积和 - 2×等边三角形面积 = $2π - 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $270$，$12π$；(2) $6$；(3) $2π$，$2π-2\sqrt{3}$
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，等边三角形性质
【点评】
本题侧重考查扇形相关公式的基础应用，以及组合图形的周长、面积计算，解题的关键是理清组合图形的构成，避免重复或遗漏计算部分区域，同时注意计算时单位的统一和结果的准确性。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证明∠A=∠D，根据圆周角性质，等弧所对的圆周角相等，因此只需证明两个角对应的弧$\overset{\frown}{CD}$和$\overset{\frown}{AB}$相等即可。已知弦AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{BC}$，即可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，进而得到角相等。
（2）要求$\overset{\frown}{CD}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知半径r=4，因此只需先求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数。首先连接OC、OD构造圆心角∠COD，结合AC⊥BD和（1）的结论可得△AED为等腰直角三角形，得到$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角∠A=45°，再根据圆周角定理，圆心角是同弧所对圆周角的2倍，即可求出∠COD=90°，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵ 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且AC=BD，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 等弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A=∠D。
（2）解：
连接OC、OD，
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AED=90°，
由（1）可知∠A=∠D，
∴ 在Rt△AED中，∠A=∠ADE=45°，
∵ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，∠COD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
∴ ∠COD=2∠A=90°，
已知$\odot O$的半径r=4，代入弧长公式：
$\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{nπr}{180}=\frac{90π×4}{180}=2π$。
【答案】
(1) $\because AC=BD,\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}.\therefore\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC},即\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.\therefore∠A=∠D$ (2) 如图,连接OC,OD.$\because AC⊥BD,\therefore∠AED=90°.\therefore∠A=∠ADE=45°.\therefore∠COD=2∠A=90°.\because\odot O$ 的半径为 4,$\therefore\overset{\frown}{CD}$ 的长 $l=\frac{90π×4}{180}=2π$
【知识点】
1. 弧弦圆心角关系
2. 圆周角定理
3. 弧长计算
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与弧长计算，解题核心是通过弦、弧、圆周角的对应关系完成等量转化，构造圆心角的辅助线是圆相关题型的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查扇形面积的计算，解题时首先回忆扇形面积的计算公式，已知扇形的圆心角度数和半径，选择公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）代入计算即可，解题时注意数值代入准确，计算无误。
【解析】
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$r=3$，将数值代入扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×3^2}{360}=\frac{120×9π}{360}=3π$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积公式
【点评】
本题属于基础题型，是扇形面积计算的常规考题，只需熟记扇形面积计算公式，准确代入已知条件计算即可得分，需注意计算过程中不要出现运算错误。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先明确绳索与滑轮无滑动时，重物上升的距离等于滑轮上点P旋转对应的弧长。要计算点P旋转的角度，只需将已知的弧长、滑轮半径代入弧长公式，求解对应圆心角即可。解题思路为：第一步确定弧长的数值，第二步回忆弧长计算公式，第三步代入数值求解旋转角度。
【解析】
解：
∵绳索与滑轮之间没有滑动，
∴重物上升的距离等于点P旋转所对的弧长，即$ l=4π\ \mathrm{cm} $，已知滑轮半径$ r=5\ \mathrm{cm} $。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（n为圆心角度数），代入已知数值得：
$ 4π=\frac{nπ×5}{180} $
两边同时约去$ π $，整理可得：
$ 5n=4×180 $
解得$ n=144 $，即点P旋转了$ 144° $。
【答案】
D
【知识点】
1. 弧长公式
2. 定滑轮特征
【点评】
本题结合生活常见的定滑轮场景考查弧长公式的实际应用，解题关键是明确重物上升距离和滑轮对应弧长的等量关系，熟记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查扇形的弧长与面积计算，解题核心是熟练掌握两个基础公式：①弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，②扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$或$S=\frac{1}{2}lr$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径，$l$为弧长）。解题时先明确每个小问的已知条件，选择匹配的公式代入，未知量可通过公式变形求解，计算时注意约分化简即可。
【解析】
(1) 已知$r=3$，$n=90°$：
弧长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×3}{180}=\frac{3}{2}π$；
扇形面积$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{90π×3^2}{360}=\frac{9}{4}π$。
(2) 已知$l=20π\ \mathrm{cm}$，$S=240π\ \mathrm{cm}^2$：
先由$S=\frac{1}{2}lr$变形求半径$r$：$r=\frac{2S}{l}=\frac{2×240π}{20π}=24\ \mathrm{cm}$；
再代入弧长公式求圆心角$n$：由$l=\frac{nπ r}{180}$得$n=\frac{180l}{π r}=\frac{180×20π}{π×24}=150°$。
(3) 已知$n=60°$，$l=2π\ \mathrm{cm}$：
先由弧长公式求半径$r$：由$l=\frac{nπ r}{180}$得$r=\frac{180l}{nπ}=\frac{180×2π}{60π}=6\ \mathrm{cm}$；
再求扇形面积：$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×2π×6=6π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}π,\frac{9}{4}π$ (2) $24,150$ (3) $6,6π$
【知识点】
弧长公式计算，扇形面积计算，公式变形应用
【点评】
本题属于基础计算类题型，主要考查弧长、扇形面积公式的直接应用和变形应用，熟记相关公式、计算时细心约分化简即可正确求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察到阴影是不规则图形，无法直接计算，考虑用割补法转化。已知两个扇形的圆心角都是90°，可得OA=OB、OC=OD，且∠AOC=∠BOD（均为90°减去公共角∠AOD），可证△AOC和△BOD全等，二者面积相等，因此阴影部分的面积可转化为大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵扇形OAB和扇形OCD的圆心角均为90°，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入OA=6cm，OC=2cm，n=90得：
$S_{阴影}=\frac{90π×6^2}{360}-\frac{90π×2^2}{360}=\frac{1}{4}π(36-4)=8π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$8π$
【知识点】
1.扇形面积计算
2.全等三角形的判定与性质
3.割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过全等三角形的性质将不规则阴影的面积转化为两个扇形的面积差，体现了转化思想在几何计算中的应用，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7