【分析】
(1) 要证AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过切点的半径，因此先连接OA，结合圆周角定理、等腰三角形性质，推导$∠ OAC=90°$即可得证。
(2) 先根据$CE=AE$推导角度关系，求出圆心角$∠ AOE$的度数和$\odot O$的半径，再利用阴影部分面积=扇形$OAE$的面积减去$△ OAE$的面积计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OA$
$\because OA=OE$，$\therefore ∠ OAE=∠ OEA$
$\because$ 同弧$AE$所对的圆周角$∠ EDA$和圆心角$∠ AOE$满足$∠ EDA=\frac{1}{2}∠ AOE$
$\therefore ∠ AOE=2∠ EDA$
在$△ OAE$中，$∠ OAE=\frac{180°-∠ AOE}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ AOE=90°-∠ EDA$
又$\because ∠ EAC=∠ EDA$
$\therefore ∠ OAE+∠ EAC=90°-∠ EDA+∠ EDA=90°$，即$∠ OAC=90°$
$\therefore OA⊥ AC$
$\because OA$是$\odot O$的半径，$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because CE=AE=2\sqrt{3}$，$\therefore ∠ C=∠ EAC$
设$∠ C=∠ EAC=x$，根据三角形外角性质，$∠ AEO=∠ C+∠ EAC=2x$
$\because OA=OE$，$\therefore ∠ OAE=∠ AEO=2x$
由(1)知$∠ OAC=90°$，$\therefore ∠ OAE+∠ EAC=3x=90°$，解得$x=30°$
$\therefore ∠ AOE=90°-∠ C=60°$
$\because OA=OE$，$∠ AOE=60°$，$\therefore △ OAE$是等边三角形，即$OA=AE=2\sqrt{3}$
阴影部分面积为扇形$OAE$面积减去$△ OAE$的面积：
$S_{扇形OAE}=\frac{60°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{6}×π×(2\sqrt{3})^2=2π$
$S_{△ OAE}=\frac{\sqrt{3}}{4}× AE^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=3\sqrt{3}$
$\therefore S_{阴影}=2π-3\sqrt{3}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{2π-3\sqrt{3}}$
【知识点】
切线的判定；扇形面积计算；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合常考题型，第一问核心是掌握切线"连半径、证垂直"的常规判定思路，第二问的关键是通过角度推导得出等边三角形，再用割补法求不规则图形的面积。
【难度系数】
0.65

【分析】
（1）要证明∠A=∠BCD，首先利用直径所对圆周角为直角的性质，可得∠ADC=90°，因此∠A与∠ACD互余；再结合∠ACB=90°，可知∠BCD也与∠ACD互余，根据同角的余角相等即可推出结论。
（2）要判断直线DM与⊙O相切的条件，根据切线判定定理，需满足DM垂直于过切点D的半径OD。结合直角三角形斜边中线的性质，当M为BC中点时，可通过角的等量代换推出∠ODM=90°，满足切线的判定条件。
【解析】
（1）证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴∠A+∠ACD=90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）。
（2）当M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD、OC都是⊙O的半径，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD。
∵M是BC中点，∠BDC=90°，
∴DM是Rt△BCD斜边BC的中线，
∴DM=CM，
∴∠MDC=∠MCD。
∴∠ODC+∠MDC=∠OCD+∠MCD=∠ACB=90°，即∠ODM=90°，
∴OD⊥DM。
又
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DM与⊙O相切。
【答案】
（1）证明略
（2）M是BC的中点，理由略
【知识点】
圆周角定理推论；切线的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，第一问侧重对互余性质的简单应用，第二问需要结合切线判定定理逆向推导点的位置，能够很好地锻炼逻辑推理能力，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.7