27. (12分)综合与实践:规划矩形地块.
如图①,数学兴趣小组计划在学校的种植园开垦一个面积为8 m²的矩形地块ABCD种植农作物,地块一边靠墙,另外三边用木栏围住,木栏总长为a m.
【问题提出】
若a=10,能否围出矩形地块?
【问题探究】
设AB为x m, BC为y m.由矩形地块面积为8 m²,得到$xy=8$,满足条件的$(x,y)$可看成是反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象在第一象限内点的坐标;木栏总长为10 m,得到$2x+y=10$,满足条件的$(x,y)$可看成一次函数$y=-2x+10$的图象在第一象限内点的坐标,同时满足这两个条件的$(x,y)$就可以看成两个函数图象交点的坐标.
(1) 如图②,反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象与一次函数$y=-2x+10$的图象交点坐标为$(1,8)$和
$(4,2)$
,因此,当木栏总长为10 m时,能围出矩形地块,分别为:$AB=1$ m, $BC=8$ m;或$AB=$
4
m, $BC=$
2
m.
【类比探究】
(2) 若$a=6$,能否围出矩形地块?仿照上述探究方法,在图②中画出一次函数图象并说明理由.
【问题延伸】
(3) 当木栏总长为$a$ m时,建立一次函数$y=-2x+a$.发现一次函数$y=-2x+a$的图象可以看成由一次函数$y=-2x$的图象平移得到的.在平移过程中,当过点$(2,4)$时,一次函数$y=-2x+a$与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象有唯一交点.请在图②中画出一次函数$y=-2x+a$过点$(2,4)$时的图象,并求出$a$的值.
【拓展应用】
(4) 从上述探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“$y=-2x+a$与$y=\frac{8}{x}$图象在第一象限内交点的存在问题”.若要围出满足条件的矩形地块,且$AB$和$BC$的长均不小于1 m,请直接写出$a$的取值范围.
解析：
【分析】
本题将矩形围建的实际问题转化为反比例函数与一次函数的交点问题，解题思路清晰：1. 第(1)问联立反比例函数和一次函数解析式，解方程组得到交点坐标，交点横、纵坐标分别对应AB、BC的长度；2. 第(2)问先写出a=6时对应的一次函数解析式，联立反比例函数得到一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可判断能否围出矩形；3. 第(3)问利用一次函数过已知点的性质，将点坐标代入解析式即可求出a的值；4. 第(4)问先根据AB、BC均不小于1m得到自变量的取值范围，再结合函数交点的临界情况求出a的取值范围。
【解析】
(1) 联立$\begin{cases}y=\dfrac{8}{x}\\y=-2x+10\end{cases}$，消去$y$得$\dfrac{8}{x}=-2x+10$，整理得$x^2-5x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。当$x=4$时，$y=-2×4+10=2$，因此另一个交点坐标为$(4,2)$，对应$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=2\ \mathrm{m}$。
(2) 当$a=6$时，木栏总长满足$2x+y=6$，对应一次函数为$y=-2x+6$。取两点$(0,6)$和$(3,0)$，连接两点画出第一象限内的线段即为该函数图象。
联立$\begin{cases}y=\dfrac{8}{x}\\y=-2x+6\end{cases}$，消去$y$整理得$x^2-3x+4=0$，计算判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×4=-7＜0$，该方程无实数根，说明两个函数图象在第一象限没有交点，因此不能围出符合条件的矩形地块。
(3) 过点$(2,4)$作与$y=-2x$平行的直线，即为$y=-2x+a$的图象。将点$(2,4)$代入$y=-2x+a$，得$4=-2×2+a$，解得$a=8$。
(4) 由题意得$x≥1$，$y=\dfrac{8}{x}≥1$，解得$1≤ x≤8$。结合一次函数与反比例函数有交点的临界条件：两函数只有1个交点时$a=8$，当$x=1$或$x=4$时$a=10$，综合可得$a$的取值范围为$8≤ a≤10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,2)}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{2}$
(2) 不能围出矩形地块，理由见解析
(3) $\boldsymbol{a=8}$
(4) $\boldsymbol{8≤ a≤ 10}$
【知识点】
函数与方程的关系，根的判别式应用，一次函数性质
【点评】
本题以实际生活中的矩形围建问题为载体，将实际问题转化为函数与方程问题，考查了数形结合思想的应用，兼顾了对基础运算能力和逻辑推理能力的考查，综合性较强。
【难度系数】
0.7
