【分析】
首先根据正方形面积公式“面积=边长²”，结合题目给出的桌面面积为$2\ \mathrm{m}^2$的条件，列出对应的一元二次方程；观察方程形式为$x^2=a(a＞0)$，符合直接开平方法的适用特征，接下来根据平方根的定义求出方程的两个根；最后结合实际问题中正方形边长为正数的隐含要求，舍去不符合实际的负根，即可得到最终结果。
【解析】
设正方形桌面的边长为$x\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式，结合桌面面积为$2\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x^2=2$
根据平方根的定义，平方等于2的数是2的平方根，因此解得：
$x=\pm\sqrt{2}$
由于正方形的边长为正数，即$x＞0$，因此舍去负根$x=-\sqrt{2}$，得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
正方形桌面的边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 直接开平方法解方程
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础应用，既考察了直接开平方法解简单一元二次方程的掌握情况，也提醒我们在解决实际问题时，要注意验证方程的根是否符合实际意义，排除不符合要求的增根。
【难度系数】
0.9

【分析】
这4道一元二次方程均适用直接开平方法求解，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1的操作，将方程整理为“含未知数的平方项等于非负常数”的形式；再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，把二次方程降为两个一元一次方程；最后分别解这两个一元一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负根。
【解析】
(1) 对$x^2=1$直接开平方，得$x=\pm1$
$\therefore x_1=1,x_2=-1$
(2) 移项，得$\frac{1}{2}x^2=8$
系数化为1，得$x^2=16$
开平方，得$x=\pm4$
$\therefore x_1=4,x_2=-4$
(3) 移项，得$(x-1)^2=4$
开平方，得$x-1=\pm2$
当$x-1=2$时，解得$x=3$；当$x-1=-2$时，解得$x=-1$
$\therefore x_1=3,x_2=-1$
(4) 移项，得$12(3-x)^2=3$
系数化为1，得$(3-x)^2=\frac{1}{4}$
开平方，得$3-x=\pm\frac{1}{2}$
当$3-x=\frac{1}{2}$时，解得$x=\frac{5}{2}$；当$3-x=-\frac{1}{2}$时，解得$x=\frac{7}{2}$
$\therefore x_1=\frac{7}{2},x_2=\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=1$
(2) $x_1=4,x_2=-4$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
(4) $x_1=\frac{7}{2},x_2=\frac{5}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
这组题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，核心是将方程变形为平方项等于非负常数的形式，再利用平方根的意义降次计算，解题时注意开平方后有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题分两步思考：第一步根据方程根的定义，若x=0是方程的根，将x=0代入原方程等式仍然成立，据此列出关于a的方程，求出a的可能取值；第二步结合题干“一元二次方程”的限定条件，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此对求出的a的取值筛选，排除不符合要求的解，即可得到最终a的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1 =0$有一个根为0，
∴ 将$x=0$代入方程得：$(a-1)×0^2 + 0 + a^2 -1 = 0$，
化简得：$a^2 -1 = 0$，
解得：$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$，
∴ $a=-1$。
【答案】
$a=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程相关概念的理解，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制，直接得到$a=\pm1$的错误结论，解题时要注意结合题干所有限定条件对结果进行验证。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先观察等式特征，等式左边是含$a^2+b^2$的式子的平方，右边是正数，首先可以用直接开平方法去掉平方，得到$a^2+b^2-3$的两个可能取值；再结合平方的非负性，$a^2$和$b^2$都是非负数，因此$a^2+b^2$的结果一定是非负的，据此排除不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$(a^2 + b^2 - 3)^2 = 25$，
根据平方根的定义，两边开平方得：
$a^2 + b^2 - 3 = ±5$，
分两种情况计算：
①当$a^2 + b^2 - 3 = 5$时，解得$a^2 + b^2 = 8$；
②当$a^2 + b^2 - 3 = -5$时，解得$a^2 + b^2 = -2$，
∵$a^2≥0$，$b^2≥0$，
∴$a^2 + b^2≥0$，故$a^2 + b^2 = -2$不符合题意，舍去。
综上，$a^2 + b^2 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的解法与非负数性质的结合，易错点是部分同学求出两个解后忽略了$a^2 + b^2$的非负性，没有舍去不符合条件的负解，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求得的解进行检验。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查一元二次方程解的判断，解题核心是利用平方数的非负性：任何实数的平方都大于等于0。解题时可先将各选项的方程整理为“完全平方式=常数”的形式，再判断常数的正负：若常数小于0，则方程无实数解；若常数大于等于0，则方程有解。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对$x^2 + 9 = 0$移项得$x^2 = -9$，因为任意实数的平方满足$x^2≥0$，不可能等于-9，因此该方程无实数解；
B. 对$-2x^2 = 0$化简得$x^2 = 0$，解得$x=0$，方程有解；
C. 对$x^2 - 3 = 0$移项得$x^2 = 3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，方程有解；
D. 对$(x - 2)^2 = 0$直接开平方得$x-2=0$，解得$x=2$，方程有解。
综上，无解的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对平方非负性质的运用，以及直接开平方法解一元二次方程的掌握，熟练掌握相关性质即可快速做出判断。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路是先明确直接开平方法的依据是平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，负数没有平方根，接下来逐一分析每个选项的解方程步骤是否符合规则，排查错误选项后选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2=-2$，因为任意实数的平方都是非负数，右边$-2＜0$，方程无实数根，A错误。
选项B：方程$(x-2)^2=4$，开平方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x=4$或$x=0$，选项漏了负的平方根，B错误。
选项C：方程$4(x-1)^2=9$，可变形为$[2(x-1)]^2=9$，开平方得$2(x-1)=\pm3$，选项第一步写成$4(x-1)=\pm3$变形错误，解得的结果也错误，C错误。
选项D：方程$4(x+3)^2=25$，变形为$[2(x+3)]^2=25$，开平方得$2(x+3)=\pm5$：
当$2(x+3)=5$时，解得$x=-\frac{1}{2}$；
当$2(x+3)=-5$时，解得$x=-\frac{11}{2}$，即$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{11}{2}$，步骤正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，易错点在于开平方时漏写负根、忽略被开方数的非负性、变形时系数处理错误，解题时要严格按照直接开平方法的步骤操作，避免以上失误。
【难度系数】
0.8