活动一:想一想 做一做
阅读课本中的“问题”,回答下列问题:
（1）课本中的图4-5直观地反映了甲、乙两名射击运动员的射击成绩这两组数据的偏离程度.你认为哪组数据与平均数的偏差较大？为什么？
（2）计算这两组数据中每个数据与平均数的差.
甲
| 次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 数据 | 7 | 9 | 9 | 9 | 10 | 9 | 10 | 9 | 9 | 9 |
| 与平均数的差 | | | | | | | | | | |
乙
| 次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 数据 | 10 | 7 | 10 | 8 | 10 | 7 | 10 | 10 | 8 | 10 |
| 与平均数的差 | | | | | | | | | | |
（3）分别把上述两个表中所得的差直接相加、取绝对值相加、取平方相加.
（4）你认为哪种算法的结果能反映数据的波动情况？你还有更好的算法吗？
答案：解：
（1）乙组数据与平均数的偏差较大。
从对应图像可以直观看出，乙的射击成绩点分布更分散，整体上各数据偏离平均数的距离比甲组更远。
（2）先计算两组数据的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{7+9+9+9+10+9+10+9+9+9}{10}=9$
$\overline{x}_乙=\frac{10+7+10+8+10+7+10+10+8+10}{10}=9$
甲组数据与平均数的差依次为：$-2,0,0,0,1,0,1,0,0,0$
乙组数据与平均数的差依次为：$1,-2,1,-1,1,-2,1,1,-1,1$
（3）①差直接相加：
甲组：$(-2)+0+0+0+1+0+1+0+0+0=0$
乙组：$1+(-2)+1+(-1)+1+(-2)+1+1+(-1)+1=0$
②取绝对值相加：
甲组：$|-2|+|0|+|0|+|0|+|1|+|0|+|1|+|0|+|0|+|0|=4$
乙组：$|1|+|-2|+|1|+|-1|+|1|+|-2|+|1|+|1|+|-1|+|1|=12$
③取平方相加：
甲组：$(-2)^2+0^2+0^2+0^2+1^2+0^2+1^2+0^2+0^2+0^2=6$
乙组：$1^2+(-2)^2+1^2+(-1)^2+1^2+(-2)^2+1^2+1^2+(-1)^2+1^2=16$
（4）差直接相加的结果恒为0，无法反映数据波动情况；取绝对值相加、取平方相加的结果都可以反映数据的波动情况，结果越大，对应组数据的波动越大。
更好的算法：将各数据与平均数差的平方相加的结果除以数据的总个数，得到方差，用方差可以更公平地对比不同容量的两组数据的整体波动情况。
解析：
【分析】
解题时可按问题顺序逐步推导：1. 第（1）问判断偏差大小，可通过数据分布的分散程度判断，数据越分散，与平均数的偏差越大；2. 第（2）问求数据与平均数的差，需先根据“平均数=数据总和÷数据个数”分别计算甲、乙两组的平均数，再用每个数据减去对应组的平均数即可；3. 第（3）问严格按照运算要求，分别对两组的差做直接相加、取绝对值相加、平方相加的计算，注意运算准确性；4. 第（4）问对比三种算法的结果，判断哪种能区分两组数据的波动差异，再结合数据离散程度的相关概念思考更优的统计量。
【解析】
（1）乙组数据与平均数的偏差较大。从数据分布来看，乙的射击成绩更分散，整体各数据偏离平均数的距离比甲组更远。
（2）先计算两组数据的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{7+9+9+9+10+9+10+9+9+9}{10}=9$
$\overline{x}_乙=\frac{10+7+10+8+10+7+10+10+8+10}{10}=9$
甲组数据与平均数的差依次为：$-2,0,0,0,1,0,1,0,0,0$
乙组数据与平均数的差依次为：$1,-2,1,-1,1,-2,1,1,-1,1$
（3）①差直接相加：
甲组：$(-2)+0+0+0+1+0+1+0+0+0=0$
乙组：$1+(-2)+1+(-1)+1+(-2)+1+1+(-1)+1=0$
②取绝对值相加：
甲组：$|-2|+|0|+|0|+|0|+|1|+|0|+|1|+|0|+|0|+|0|=4$
乙组：$|1|+|-2|+|1|+|-1|+|1|+|-2|+|1|+|1|+|-1|+|1|=12$
③取平方相加：
甲组：$(-2)^2+0^2+0^2+0^2+1^2+0^2+1^2+0^2+0^2+0^2=6$
乙组：$1^2+(-2)^2+1^2+(-1)^2+1^2+(-2)^2+1^2+1^2+(-1)^2+1^2=16$
（4）差直接相加的结果恒为0，无法反映数据波动情况；取绝对值相加、取平方相加的结果都可以反映数据的波动情况，结果越大，对应组数据的波动越大。
更好的算法：将各数据与平均数差的平方相加的结果除以数据的总个数，得到方差，用方差可以更公平地对比不同容量的两组数据的整体波动情况。
【答案】
（1）乙组，理由见解析；
（2）甲组与平均数的差：$-2,0,0,0,1,0,1,0,0,0$；乙组与平均数的差：$1,-2,1,-1,1,-2,1,1,-1,1$；
（3）差直接相加：甲=0，乙=0；取绝对值相加：甲=4，乙=12；取平方相加：甲=6，乙=16；
（4）取绝对值相加、取平方相加的结果可反映波动情况；更好的算法是计算方差，理由见解析。
【知识点】
平均数计算；数据的离散程度；方差概念
【点评】
本题是探究数据波动特征的基础题，通过直观判断、分步计算对比，引导理解反映数据离散程度的统计量的推导逻辑，有助于掌握数据稳定性的判断方法。
【难度系数】
0.8
活动二:议一议 说一说
表示数据离散程度有许多方法,统计中极差反映了一组数据的变化范围,而方差用来衡量一组数据中每一个数据偏离平均数的波动大小.
(1) 写出求方差的公式,并说明每一部分的意义.
(2) 说出求一组数据方差的步骤.
(3) 方差的单位与原数据的单位相同吗? 应该如何处理单位的问题?
(4) 自学课本的“阅读”,了解什么是标准差.
答案：(1) $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，$x_1,x_2,\dots,x_n$表示各个数据，$\overline{x}$表示平均数，$n$表示数据的个数
(2) ① 求平均数 ② 求各个数据与平均数的差的平方 ③ 求差的平方的平均数
(3) 不相同，是原单位的平方
(4) 略
解析：
【分析】
本题围绕描述数据离散程度的核心统计量设置问题，解题时紧扣方差的定义展开思考即可：
1. 回忆方差的定义公式，对应明确每个符号的含义，就能解答第(1)问；
2. 按照方差公式的运算顺序拆分步骤，即可梳理出求方差的完整流程，解答第(2)问；
3. 从公式中“对差求平方”的运算入手，可推导方差单位与原数据单位的关系，解答第(3)问；
4. 结合方差的运算逻辑，查阅课本阅读内容即可明确标准差的定义，解答第(4)问。
【解析】
(1) 方差是衡量数据波动大小的统计量，根据其定义可写出对应公式，公式中每个符号分别对应数据的相关属性：$x_1,x_2,\dots,x_n$是参与统计的所有原始数据，$\overline{x}$是这组数据的平均值，$n$是数据的总数量。
(2) 求方差需按运算顺序分步操作：首先要算出整组数据的平均数，再计算每个数据和平均数的差的平方，最后对所有平方值求平均，得到的结果就是方差。
(3) 由于计算方差时需要对数据与平均数的差取平方，因此单位也会随运算变为原单位的平方，和原数据单位不一致，若需要单位和原数据一致的统计量描述离散程度，可对方差取算术平方根得到标准差。
(4) 标准差是方差的算术平方根，它的单位与原数据单位相同，同样可以用来描述数据的波动大小。
【答案】
(1) $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，$x_1,x_2,\dots,x_n$表示各个数据，$\overline{x}$表示平均数，$n$表示数据的个数
(2) ① 求平均数 ② 求各个数据与平均数的差的平方 ③ 求差的平方的平均数
(3) 不相同，是原单位的平方
(4) 略
【知识点】
方差的概念、方差的计算、标准差的概念
【点评】
本题是统计部分的基础概念题，重点考查方差的相关基础属性，是后续运用方差解决实际统计问题的基础，熟练掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
