迁移运用
综合与实践:如何确定拱桥形状?
问题背景
公园河面上有一座拱桥,对于它的形状,某校数学兴趣小组开展了一次探究活动.
素材1
在正常水位时,小组成员对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了下图.测得拱形内水面宽AB为40 m,拱顶离水面的距离CD为10 m.
素材2
大雨过后,水位上涨.小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量,发现:当水面宽度为36 m时,水位上涨2.1 m;当水面宽度为32 m时,水位上涨3.8 m.
素材3
预测误差平方和是实际观测值与预测值的差的平方和,反映了基于假设得到的预测值与实际值之间的差异.预测误差平方和越小,预测值与实际观测值之间的误差越小,提出的假设与实际情况更接近.
假设1
假设拱桥形状是抛物线,根据素材1建立平面直角坐标系,求该抛物线对应的函数表达式.
假设2
假设拱桥形状是抛圆弧,根据素材1求出该圆弧的半径.
分析判断
基于假设1和假设2,请分别计算拱形内水面宽36 m和32 m时水位上涨的预测值,直接填入下表(数据保留一位小数),并结合素材3分别求出两种假设下数据的预测误差平方和,判断拱桥更接近哪一种形状.(参考数据:√41≈6.4)
| 水面宽/m | 36 | 32 |
|------------------------|------|------|
| 水位上涨的实际观测值/m | 2.1 | 3.8 |
| 假设1的预测值/m | 图3 | 3.6 |
| 假设2的预测值/m | 2.3 | |
答案：假设1的预测值为:1.90 m.假设2的预测值为4.2 m.假设1,离差平方和=(2.1−1.9)²+(3.8−3.6)²=0.08,假设2,离差平方和=(2.1−2.3)²+(3.8−4.2)²=0.20,
∴更接近抛物线
解析：
【分析】
首先建立平面直角坐标系，以拱顶为原点，对称轴为y轴，正常水位所在直线为y=10，方便利用已知条件求解抛物线和圆弧的表达式。对于假设1，设抛物线表达式，代入已知点求参数，再根据水面宽度计算对应水位上涨的预测值；对于假设2，设圆弧圆心在y轴上，利用圆的半径相等求出圆心和半径，再计算不同水面宽度对应的水位上涨预测值。最后根据预测值与实际值计算误差平方和，比较大小判断拱桥更接近的形状。
【解析】
假设1：建立平面直角坐标系，设拱顶C为原点(0,0)，对称轴为y轴，正常水位AB在直线y=10上，故A(-20,10)，B(20,10)。设抛物线表达式为y=ax²，将A(-20,10)代入得：10 = a×(-20)²，解得a=1/40，因此抛物线表达式为y=(1/40)x²。
当水面宽为36m时，x=±18，代入得y=(1/40)×18²=8.1，水位上涨高度为10 -8.1=1.9m；当水面宽为32m时，x=±16，代入得y=(1/40)×16²=6.4，水位上涨高度为10 -6.4=3.6m。
假设2：设圆弧的圆心在y轴上，坐标为(0,k)，半径为R，圆弧过A(-20,10)、C(0,0)，则R²=(0+20)² + (k-10)²，且R²=(0-0)² + (k-0)²，联立得：400 + (k-10)² =k²，解得k=25，R²=25²=625，R=25m。
当水面宽为36m时，x=±18，设对应点为(18,y)，则18² + (y-25)²=25²，解得y≈7.7，水位上涨高度=10 -7.7=2.3m；当水面宽为32m时，x=±16，对应点(16,y)，16² + (y-25)²=25²，解得y≈5.8，水位上涨高度=10 -5.8=4.2m。
计算误差平方和：假设1的误差平方和=(2.1-1.9)² + (3.8-3.6)²=0.08；假设2的误差平方和=(2.1-2.3)² + (3.8-4.2)²=0.20。因为0.08＜0.20，故拱桥更接近抛物线。
【答案】
假设1的预测值为1.9 m，假设2的预测值为4.2 m；假设1预测误差平方和为0.08，假设2预测误差平方和为0.20；拱桥更接近抛物线。
【知识点】
二次函数应用、圆的应用、误差分析
【点评】
本题通过建立数学模型拟合拱桥形状，结合函数和圆的知识计算预测值，利用误差平方和判断模型的合理性，考查了实际问题转化为数学问题的能力，以及数据分析素养。
【难度系数】
0.5
