20. 如图，已知$∠ E=∠ F$，$∠ A=∠ D$. 判断$∠ 1$，$∠ 2$是否相等.
（第20题）
答案：20. 因为$∠E=∠F$,所以$AE//DF$,所以$∠A=∠ABF$,因为$∠A=∠D$,所以$∠D=∠ABF$,所以$AB//CD$,所以$∠1=∠2$
解析：
【分析】
要判断∠1和∠2是否相等，可通过角与直线平行的关系逐步推导：首先已知∠E=∠F，这两个角是直线AE、DF被EF所截的内错角，由内错角相等可判定AE//DF，进而得到∠A和∠ABF相等；再结合已知∠A=∠D，通过等量代换得到∠D=∠ABF，这两个角是直线AB、CD被DF所截的同位角，可判定AB//CD，最后根据平行线的性质即可得到∠1和∠2的数量关系。
【解析】
解：
∵∠E=∠F（已知），
∴AE//DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠ABF（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠A=∠D（已知），
∴∠D=∠ABF（等量代换），
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
∠1与∠2相等，即∠1=∠2。
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 平行线的性质
3. 等量代换
【点评】
本题是相交线与平行线模块的典型基础题，核心考查平行线判定和性质的综合应用，解题时需要灵活切换“由角的关系推平行”和“由平行推角的关系”的逻辑，对培养几何推导思维有较好的训练作用。
【难度系数】
0.8
21. 如图，$AD⊥ BC$，$EG⊥ BC$，垂足分别为$D$，$G$，$∠ E=∠ 3$，判断$AD$是否平分$∠ BAC$，并说明理由。
答案：21. AD平分$∠BAC$,理由: 因为$AD⊥BC$,$EG⊥BC$,所以$∠ADC=∠EGC=90°$(垂直定义),所以$AD//EG$(同位角相等,两直线平行),所以$∠1=∠E$(两直线平行,同位角相等),$∠2=∠3$(两直线平行,内错角相等),因为$∠3=∠E$(已知),所以$∠1=∠2$(等量代换),所以AD平分$∠BAC$(角平分线定义)
解析：
【分析】
要判断AD是否平分∠BAC，本质是验证∠1和∠2是否相等。首先观察到AD、EG都垂直于BC，可先由垂直的定义得到同位角相等，推出AD与EG平行；再利用平行线的性质，分别得到∠1与∠E相等、∠2与∠3相等，结合已知∠E=∠3，通过等量代换即可得到∠1=∠2，进而证明AD平分∠BAC。
【解析】
解：AD平分∠BAC，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），
∴AD//EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等），∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠E=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）。
【答案】
AD平分$∠BAC$,理由: 因为$AD⊥BC$,$EG⊥BC$,所以$∠ADC=∠EGC=90°$(垂直定义),所以$AD//EG$(同位角相等,两直线平行),所以$∠1=∠E$(两直线平行,同位角相等),$∠2=∠3$(两直线平行,内错角相等),因为$∠3=∠E$(已知),所以$∠1=∠2$(等量代换),所以AD平分$∠BAC$(角平分线定义)
【知识点】
垂直的定义，平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查平行线的判定和性质的综合应用，解题的关键是通过垂直关系推出平行线，再借助平行线的性质完成角的等量转换，作答时要注意几何推导步骤逻辑清晰，每一步都要有对应的定理作为依据。
【难度系数】
0.8
22. 已知$BC// OA$，$∠ B=∠ A=100°$，试回答下列问题：
（1）如图①，判断OB，AC是否平行.
（2）如图②，若点E，F在BC上，且满足$∠ FOC=∠ AOC$，并且OE平分$∠ BOF$. 求$∠ EOC$的度数.
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么$∠ OFB$与$∠ OCB$的度数之比是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值.
答案：22. (1) 因为$BC//OA$,所以$∠B+∠O=180°$,又因为$∠B=∠A$,所以$∠A+∠O=180°$,所以$OB//AC$
(2) 因为$∠B+∠BOA=180°$,$∠B=100°$,所以$∠BOA=80°$,因为OE平分$∠BOF$,所以$∠BOE=∠EOF$,又因为$∠FOC=∠AOC$,所以$∠EOC=∠EOF+∠FOC=\frac{1}{2}(∠BOF+∠FOA)=\frac{1}{2}∠BOA=40°$
(3) 结论:$∠OFB$与$∠OCB$的度数之比不发生变化. 理由:因为$BC//OA$,所以$∠FCO=∠COA$,又因为$∠FOC=∠AOC$,所以$∠FOC=∠FCO$,所以$∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB$,所以$∠OFB$与$∠OCB$的度数之比是$2:1$
解析：
【分析】
（1）要判断OB与AC是否平行，可通过平行线的判定定理推导。首先利用已知的BC//OA，得出∠B和∠BOA的数量关系，再结合∠B=∠A的条件，推导∠A与∠BOA的关系，即可判定两直线的位置关系。
（2）求∠EOC的度数时，先根据平行线的性质求出∠BOA的总度数，再结合角平分线的定义和∠FOC=∠AOC的条件，将∠EOC拆分为∠EOF和∠FOC的和，整体代入即可求出结果。
（3）判断∠OFB与∠OCB的比值是否变化，先利用平行线的内错角相等的性质，得到∠OCB和∠AOC、∠OFB和∠FOA的相等关系，再结合∠FOC=∠AOC的条件，推导∠OFB和∠OCB的数量关系，即可得到固定比值。
【解析】
（1）证明：
∵ $BC//OA$（已知），
∴ $∠B + ∠BOA = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ $∠B = ∠A = 100°$（已知），
∴ $∠A + ∠BOA = 180°$（等量代换），
∴ $OB//AC$（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）解：
由（1）可知$∠B + ∠BOA = 180°$，
∵ $∠B = 100°$，
∴ $∠BOA = 180° - 100° = 80°$，
∵ OE平分$∠BOF$（已知），
∴ $∠BOE = ∠EOF$（角平分线的定义），
又
∵ $∠FOC = ∠AOC$（已知），
∴ $∠EOC = ∠EOF + ∠FOC$
$=\frac{1}{2}∠BOF + \frac{1}{2}∠FOA$
$=\frac{1}{2}(∠BOF + ∠FOA)$
$=\frac{1}{2}∠BOA$
$=\frac{1}{2}×80° = 40°$。
（3）解：$∠OFB$与$∠OCB$的度数之比不发生变化，理由如下：
∵ $BC//OA$（已知），
∴ $∠OCB = ∠AOC$，$∠OFB = ∠FOA$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠FOC = ∠AOC$（已知），
∴ $∠FOA = ∠FOC + ∠AOC = 2∠AOC = 2∠OCB$（等量代换），
∴ $∠OFB = 2∠OCB$，即$∠OFB:∠OCB = 2:1$。
【答案】
（1）$OB// AC$；
（2）$∠ EOC=40°$；
（3）比值不变，为$2:1$。
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题设置分层递进的问题，既考查了平行线、角平分线的基础知识点，也考查了动态几何问题中不变量的分析能力，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和几何直观思维。
【难度系数】
0.7
