8. 数学老师布置了一道思考题：“计算：$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})$”. 小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题：
原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{12})=(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$，
所以$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$.
请你运用小明的方法计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})$.
答案：8. $-\frac{1}{14}$
解析：
【分析】
本题可借鉴小明的倒数法求解，若直接计算括号内的分数加减需要多次通分，步骤繁琐。我们可以先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算倒数的结果，最后对倒数的计算结果取倒数，就能得到原式的答案。
【解析】
先计算原式的倒数：
$\begin{split}&(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{2}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)\\=&-7+12-28+9\\=&-14\end{split}$
因为原式的倒数为$-14$，所以原式$=\frac{1}{-14}=-\frac{1}{14}$。
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
倒数法适合解决除数为多个数和差形式的除法运算，能将复杂的除法转化为可利用分配律计算的乘法，简化运算过程，减少通分带来的计算错误。
【难度系数】
0.6
9. 已知a，b，c是有理数，|a|=4，|b|=9，|c|=6，且ab＜0，bc＞0. 求ab−bc+abc的值.
答案：9. 126或−306
解析：
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定a、b、c所有可能的取值，再结合ab＜0、bc＞0的符号条件，梳理出a、b、c的符号匹配关系，分两类情况分别代入代数式计算，计算时注意遵循有理数运算的符号规则，避免符号错误。
【解析】
解：
∵|a|=4，
∴a=4或a=-4；
∵|b|=9，
∴b=9或b=-9；
∵|c|=6，
∴c=6或c=-6；
由ab＜0可知a、b异号，由bc＞0可知b、c同号，分两种情况讨论：
① 当b=9时，a=-4，c=6，代入代数式得：
$ab - bc + abc = (-4)×9 - 9×6 + (-4)×9×6$
$= -36 - 54 - 216$
$= -306$
② 当b=-9时，a=4，c=-6，代入代数式得：
$ab - bc + abc = 4×(-9) - (-9)×(-6) + 4×(-9)×(-6)$
$= -36 - 54 + 216$
$= 126$
综上，$ab−bc+abc$的值为126或-306。
【答案】
126或−306
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数混合运算
【点评】
本题解题的核心是根据已知的符号不等式确定字母间的符号对应关系，需要掌握分类讨论的思想，不要遗漏符合条件的取值情况，运算时要重点关注符号的运算规则，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
10. 将下列各组数进行混合运算（每个数只能用一次），使得运算结果为24.
(1) 4，6，8，9；
(2) 12，−12，3，−1；
(3) 1，−2，2，3.
答案：10. 答案不唯一,如(1) $8÷4×9+6$ (2) $3×(-12)×(-1)-12$ (3) $[3-(-2)]^2-1$
解析：
【分析】
凑24的核心思路是结合给定数字，灵活运用四则运算或乘方，通过凑常见的24相关组合（如3×8、4×6、25-1、36-12等）推导，且保证每个数字仅使用1次：
(1) 观察数字4、6、8、9，可先计算8÷4得到2，再乘9得18，最后加6即可得到24；
(2) 观察数字包含正负，利用负负得正的规则，先算3×(-12)×(-1)得到36，再减12得到24；
(3) 可结合乘方运算，先算3减去-2得到5，5的平方是25，再减1得到24。
【解析】
(1) 计算$8÷4×9+6$：
先算除法：$8÷4=2$，
再算乘法：$2×9=18$，
最后算加法：$18+6=24$，结果符合要求。
(2) 计算$3×(-12)×(-1)-12$：
先算乘法，负因数共2个，积为正：$3×(-12)×(-1)=36$，
再算减法：$36-12=24$，结果符合要求。
(3) 计算$[3-(-2)]^2-1$：
先算括号内的减法：$3-(-2)=3+2=5$，
再算乘方：$5^2=25$，
最后算减法：$25-1=24$，结果符合要求。
（注：答案不唯一，合理即可）
【答案】
答案不唯一，如：
(1) $8÷4×9+6$
(2) $3×(-12)×(-1)-12$
(3) $[3-(-2)]^2-1$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题为开放性运算题，需要熟练掌握有理数混合运算的顺序和符号规则，平时可多积累凑24的常用组合，多角度尝试运算组合即可得出答案。
【难度系数】
0.7
11. 在数学活动中，小明在边长为1的正方形中设计了如图①所示的图形.
（1）根据这个图形，可以直接写出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$
$1-\frac{1}{2^n}$
；
（2）请你在图②中再设计一个能表示$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}$的图形.
答案：11. (1) $1-\frac{1}{2^n}$.该式子可以看作大正方形去除最后一块三角形的区域面积之和,大正方形面积为1,最后一块三角形的面积为$\frac{1}{2^n}$
(2) 答案不唯一.只要保证每次划分后的区域面积是上次的一半即可,可以划分为两个三角形,也可以划分为两个长方形,等等
解析：
【分析】
（1）首先明确边长为1的正方形总面积为1，观察图①的分割规律：每次分割都是将剩余图形面积平均分成2份，取其中1份依次对应$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2^2}$、$\frac{1}{2^3}$……$\frac{1}{2^n}$，这些分数的和就是所有已分割部分的面积之和，剩余未分割的面积为$\frac{1}{2^n}$，用总面积减去剩余面积即可得到求和结果。
（2）要设计表示该求和式的图形，只需遵循“每次将剩余未分割的部分平均分为2份，其中1份的面积对应下一个加项”的规律即可，可选择平分长方形、平分三角形等多种分割方式。
【解析】
（1）边长为1的正方形面积为$1×1=1$。
观察分割规律：
第一次分割得到面积为$\frac{1}{2}$的部分，剩余未分割面积为$\frac{1}{2}$；
第二次分割得到面积为$\frac{1}{2^2}$的部分，累计分割面积和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}$，剩余未分割面积为$\frac{1}{2^2}$；
……
第n次分割得到面积为$\frac{1}{2^n}$的部分，累计分割面积和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^n}$，此时剩余未分割面积为$\frac{1}{2^n}$。
因此$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^n}=总面积-剩余面积=1-\frac{1}{2^n}$。
（2）设计示例：将边长为1的正方形第一次水平对折，得到面积为$\frac{1}{2}$的矩形，标记该部分；将剩下的$\frac{1}{2}$矩形竖直对折，得到面积为$\frac{1}{2^2}$的矩形，标记该部分；再将剩下的$\frac{1}{2^2}$矩形水平对折，得到面积为$\frac{1}{2^3}$的矩形，标记该部分……重复操作n次，所有标记部分的面积和就对应$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^n}$。（答案不唯一，符合分割规律即可）
【答案】
（1）$1-\frac{1}{2^n}$
（2）答案不唯一，依次将正方形剩余部分对半平分，每次取其中一份作为加项对应的图形即可，如依次平分得到不同大小的长方形、三角形等均可。
【知识点】
数形结合思想
分数求和
正方形面积计算
【点评】
本题借助几何图形的面积直观推导分数求和公式，将抽象的代数运算转化为具象的图形问题，有助于理解运算规律，开放性的作图题能够发散思维，加深对“分割累加”逻辑的掌握。
【难度系数】
0.7
