【分析】
这是一道圆相关概念的辨析题，解题时需要逐一核对每个选项对应定理、性质的完整内容，尤其要注意各定理成立的前提条件，判断每个选项是否缺少必要限制，从而选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 同一条弦所对的弧包含优弧和劣弧（除非弦是直径），只有弦为直径时两条弧才是等弧，一般情况下不相等，故A错误；
B. 圆上任意弦的两个端点到圆心的距离都等于半径，即圆心到弦两端点距离相等，因此圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线一定经过圆心，故B正确；
C. 只有在同圆或等圆中，圆心角相等的两条弧才相等，缺少“同圆或等圆”的前提时结论不成立，故C错误；
D. 平分弦（不是直径）的直径垂直于该弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该选项缺少“弦不是直径”的限制，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；垂径定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略各定理的限制条件（如同圆等圆前提、弦非直径的要求），只要准确记忆相关性质的完整内容就能轻松得分。
【难度系数】
0.7

【分析】首先，圆的八等分点将圆周分成8段相等的弧，相邻两个分点之间的弦长都相等。观察两个图形，发现它们有公共边$P_3P_7$，因此只需比较两个图形剩余边的和的大小即可。利用两点之间线段最短的性质，可快速推出相关边长的大小关系，进而得到$a$和$b$的大小。
【解析】设相邻两个八等分点之间的弦长为$x$，对应90°弧的弦长为$y$，直径$P_3P_7$的长为$z$。
$△ P_1P_3P_7$的三条边中，$P_1P_3$、$P_1P_7$都是对应90°弧的弦，长度均为$y$，$P_3P_7$为直径长$z$，因此周长$a = P_1P_3 + P_1P_7 + P_3P_7 = y + y + z = 2y + z$。
四边形$P_3P_4P_6P_7$的四条边中，$P_3P_4$、$P_6P_7$都是相邻分点的弦，长度均为$x$，$P_4P_6$是对应90°弧的弦，长度为$y$，$P_3P_7$为直径长$z$，因此周长$b = P_3P_4 + P_4P_6 + P_6P_7 + P_3P_7 = x + y + x + z = 2x + y + z$。
比较$a$和$b$的大小，两边同时减去公共部分$(y+z)$，只需比较$y$和$2x$的大小：
取分点$P_5$，连接$P_3P_5$，可知$P_3P_5$是对应90°弧的弦，长度为$y$。根据两点之间线段最短，折线$P_3P_4P_5$的长度大于线段$P_3P_5$的长度，即$P_3P_4 + P_4P_5 ＞ P_3P_5$，代入边长得$x + x ＞ y$，即$2x ＞ y$。
因此$2y + z ＜ 2x + y + z$，即$a ＜ b$。
【答案】A
【知识点】圆的等分点性质，两点之间线段最短，周长计算
【点评】本题通过寻找公共边简化比较过程，结合几何基本性质判断边长大小，避免了复杂计算，体现了转化思想在几何比较类问题中的应用。
【难度系数】0.65

【分析】
解题可按三步推导：①求∠AOB：已知半径和OP长度，结合垂径定理，在直角三角形OPA中通过边角关系先求∠AOP，再利用对称性得到∠AOB的度数；②求∠ADC：根据圆周角定理，圆周角度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，∠ADC对应弧AC，对应圆心角为∠AOC，代入计算即可；③求△AOC的周长：先判断△AOC的形状，再计算三边长度之和。
【解析】
连接OA、OB，
∵OA=OB=OC=⊙O的半径=4cm，CD是直径且CD⊥AB，
由垂径定理可知CD平分∠AOB，即∠AOP=∠BOP。
1. 计算∠AOB：
在Rt△OPA中，OA=4cm，OP=2cm，
$\cos∠AOP=\frac{OP}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，因此∠AOP=60°，
∴∠AOB=2∠AOP=2×60°=120°。
2. 计算∠ADC：
∠ADC是弧AC对应的圆周角，弧AC对应的圆心角为∠AOC=∠AOP=60°，
根据圆周角定理，∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
3. 计算△AOC的周长：
在△AOC中，OA=OC=4cm，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，AC=OA=4cm，
∴△AOC的周长=OA+OC+AC=4+4+4=12cm。
【答案】
120；30；12
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是灵活运用圆的基本性质结合三角形相关知识求解角度和边长，掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先结合已知条件联想圆的相关性质：已知直径CD过弦EF的中点G，首先根据垂径定理可推出弧ED与弧FD相等，再依据圆周角定理，等弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可通过已知的∠EOD的度数求出∠DCF的度数。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，且CD过弦EF的中点G，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{FD}$，
∴$\overset{\frown}{ED}$与$\overset{\frown}{FD}$的度数相等，
∵∠EOD是$\overset{\frown}{ED}$所对的圆心角，$∠ EOD=40°$，
∴$\overset{\frown}{FD}$对应的圆心角度数也为$40°$，
又
∵∠DCF是$\overset{\frown}{FD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角定理完成角度计算，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题属于圆中的最短路径问题，可采用“将军饮马”模型求解。解题思路如下：①要使PC+PD最小，需通过对称将两条折线段转化为两点之间的线段，利用两点之间线段最短确定最小值为对称点与另一点的连线长度；②结合圆的三等分点、弧中点的性质计算对应圆心角的度数；③最后利用勾股定理计算线段长度即可得到结果。
【解析】
解：作点D关于直径AB的对称点D'，连接CD'，交AB于点P，此时PC+PD取得最小值，最小值为CD'的长。
∵ AB是$\odot O$的直径，半圆的度数为$180°$，点C是半圆的三等分点，
∴ $∠ AOC = 180°÷3 = 60°$。
∵ 点D是弧AC的中点，
∴ 弧$AD=$弧$DC=30°$，即$∠ AOD=30°$。
∵ D与D'关于AB对称，
∴ $∠ AOD'=∠ AOD=30°$，
∴ $∠ COD'=∠ AOC+∠ AOD'=60°+30°=90°$。
已知$\odot O$半径为2，故$OC=OD'=2$，
在$Rt△ COD'$中，由勾股定理得：
$CD'=\sqrt{OC^2+OD'^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
即$PC+PD$的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题是圆与最值结合的典型题型，解题核心是利用对称转化线段和，再结合圆的性质计算角度，最终用勾股定理求解，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先从已知条件“同圆中AB=CD”入手，回忆同圆中弦与圆心角的关系定理：同圆内相等的弦所对的圆心角相等，由此可得∠AOB=∠COD；再观察待判断的∠AOC、∠BOD和上述两个等角的关系，发现∠AOC=∠AOB-∠COB，∠BOD=∠COD-∠COB，根据等式的性质，两个相等的角减去同一个公共角∠COB，所得的差仍然相等，即可推出两个角的大小关系。
【解析】
∠AOC与∠BOD相等，理由如下：
∵ 在$\odot O$中，弦$AB=CD$，
根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得$∠ AOB = ∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ COB = ∠ COD - ∠ COB$（等式的基本性质），
即$∠ AOC = ∠ BOD$。
【答案】
相等
【知识点】
弦与圆心角的关系，角的和差运算
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查圆的基本性质的应用，解题关键是熟练掌握同圆中弦和对应圆心角的等量关系，结合角的和差转化即可得出结论。
【难度系数】
0.8