【分析】
本题是圆的实际应用问题，解题关键是结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理可得到弦长的一半，再结合种植区深度表示出圆心到弦的距离，最后在直角三角形中用勾股定理建立关于半径的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D：
由垂径定理可得：$ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm} $，
由题意可知种植区深度CD=4 cm，设圆形框架的半径为$ r\ \mathrm{cm} $，则$ OA = OD = r\ \mathrm{cm} $，
因此圆心到弦AB的距离$ OC = OD - CD = (r - 4)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAC $中，根据勾股定理可得：
$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，
代入数值得：$ r^2 = (r - 4)^2 + 8^2 $，
展开计算：$ r^2 = r^2 - 8r + 16 + 64 $，
移项化简得：$ 8r = 80 $，
解得：$ r = 10 $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理构造由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，属于圆中基础计算类题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据AB=AC判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，得到∠ACB的度数；第二步，结合三角形内角和为180°，计算出顶角∠BAC的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，由此计算∠BOC的度数。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ACB=∠ABC=65°，
根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 65° - 65° = 50°，
∵ ∠BOC和∠BAC都是弧BC所对的角，∠BOC是圆心角，∠BAC是圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 2×50° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的核心是先利用等腰三角形性质和内角和定理求出圆周角的度数，再结合圆周角定理得到圆心角的度数，是这类题型的常规考法。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题可按三步推导：①先利用同圆半径相等，判断△OAD是等腰三角形，结合已知∠A的度数计算出弧AD对应的圆心角∠AOD的度数；②根据“等弧对应的圆心角相等”，由点A是$\overset{\frown}{CD}$的中点，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，因此弧AC对应的圆心角∠AOC与∠AOD相等；③最后根据圆周角定理，圆周角∠B对应弧AC，其度数为对应圆心角∠AOC的一半，代入数值计算即可得到∠B的大小。
【解析】
解：
∵OA、OD均为⊙O的半径，
∴OA=OD，即△OAD为等腰三角形，
∴∠D=∠A=65°，
由三角形内角和可得：$∠ AOD=180°-∠ A-∠ D=180°-65°×2=50°$。
∵点A为$\overset{\frown}{CD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此$∠ AOC=∠ AOD=50°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，∠B是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形性质；圆心角与弧的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题核心是明确弧、圆心角、圆周角三者的对应关系，结合等腰三角形性质逐步推导即可，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题可按以下思路推导：1. 利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠DAB=90°，求出∠BCD的度数；2. 根据C是弧BD的中点，可得弧CD与弧CB相等，由等弧所对的圆周角相等，推出∠CAD=∠CAB，结合∠DAB=90°算出两个角的度数；3. 在△ABC中用三角形内角和定理求出∠ACB的度数；4. 最后用∠BCD减去∠ACB即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ DAB+∠ BCD=180°$（圆内接四边形对角互补），
∵$∠ DAB=90°$，
∴$∠ BCD=180°-90°=90°$。
∵C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴$∠ CAD=∠ CAB$（等弧所对的圆周角相等），
又
∵$∠ DAB=90°$，
∴$∠ CAD=∠ CAB=45°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC=60°$，$∠ CAB=45°$，
∴$∠ ACB=180°-∠ ABC-∠ CAB=180°-60°-45°=75°$。
∴$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=90°-75°=15°$。
【答案】
15
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理的相关推论，能结合弧中点的条件实现角的等量转化，进而通过角的和差计算得到结果。
【难度系数】
0.6

【分析】
要确定△OAB外接圆圆心M的坐标，首先回忆三角形外接圆的性质：外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。我们可以先找计算简便的边的垂直平分线：点O(0,0)和A(2,0)都在x轴上，OA的垂直平分线很容易求得为x=1，因此点M的横坐标一定是1，接下来只需要设M的坐标为(1,y)，利用M到A、B两点距离相等列方程求解y即可。
【解析】
解：
∵⊙M是△OAB的外接圆，
∴点M是△OAB三边垂直平分线的交点，满足MA=MB=MO。
1. 求OA边的垂直平分线：
已知O(0,0)，A(2,0)，OA的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2})=(1,0)$，OA沿x轴方向，其垂直平分线为垂直于x轴的直线，即$\boldsymbol{x=1}$，因此点M的横坐标为1，设M(1,y)。
2. 利用MA=MB列方程求解y：
根据两点间距离公式：
$MA^2=(1-2)^2+(y-0)^2=1+y^2$
$MB^2=(1-3)^2+(y-3)^2=4+(y-3)^2$
∵MA=MB，
∴$MA^2=MB^2$，即：
$1+y^2=4+(y-3)^2$
展开右侧得：$1+y^2=4+y^2-6y+9$
消去$y^2$，整理得：$6y=12$，解得$y=2$。
因此点M的坐标为(1,2)。
【答案】
(1,2)
【知识点】
三角形外接圆性质；垂直平分线性质；两点间距离公式
【点评】
本题解题的核心是利用外接圆圆心的性质，先通过简单边的垂直平分线确定圆心的横坐标，再结合距离相等列方程求解纵坐标，简化了计算过程，是平面直角坐标系中求外接圆圆心的典型考法。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确：定滑轮转动过程中，砝码上升的高度等于定滑轮上与转动角度对应的弧长，因为定滑轮边缘转过的长度和绳子拉动的长度、砝码上升的高度完全相等。接下来只需要利用弧长公式计算圆心角为120°、半径为6cm的圆弧长度即可得到答案，弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径。
【解析】
砝码被提起的高度等于定滑轮上120°圆心角对应的弧长。
已知定滑轮半径$r=6\mathrm{cm}$，转动对应的圆心角$n=120°$，代入弧长公式：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×6}{180}=4π(\mathrm{cm})$
【答案】
$4π$
【知识点】
弧长计算、定滑轮的特点
【点评】
本题属于跨学科基础题，将物理中定滑轮的工作特点和数学中的弧长计算结合，解题核心是找到砝码上升高度和对应弧长的等量关系，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求盛水桶在水面以下的最大深度，即求垂直于弦AB的方向上，水面下方圆弧的最低点到弦AB的距离。解题时可先过圆心O作AB的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再在直角三角形中用勾股定理求出圆心到水面的距离，最后用半径减去该距离即可得到水面下的最大深度。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，延长OC交$\odot O$下方于点D。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$，
已知$\odot O$的半径$OA=OD=2.5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=\sqrt{6.25-4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$，
因此水面以下的最大深度为$CD=OD-OC=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合中国古代水利工具的实际场景，考查圆的性质的实际应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可按三步推导求解：首先利用圆内接四边形的性质求∠ADC的度数，再通过圆周角定理得到圆心角∠AOC的度数，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OAC的度数。具体思考路径：①看到圆内接四边形，优先想到对角互补，已知∠ABC，可直接求其对角∠ADC；②∠ADC是弧AC对应的圆周角，∠AOC是弧AC对应的圆心角，根据圆周角定理，圆心角是圆周角的2倍，即可求∠AOC；③OA和OC都是圆的半径，二者相等，△OAC为等腰三角形，两个底角相等，结合三角形内角和180°就能算出∠OAC。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ADC+∠ABC=180°。
∵ ∠ABC=130°，
∴ ∠ADC = 180°−∠ABC = 50°，
∴ ∠AOC = 2∠ADC=100°。
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∴ ∠OAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠AOC)=40°。
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆相关性质的基础应用题型，综合考查了多个基础定理，解题时按照逻辑逐步推导即可，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7