【分析】
我们需要结合切线的相关性质，逐个验证四个说法的正确性：首先回忆切线长定理、切线的性质、四点共圆的判定、三角形外接圆圆心的特征，依次分析每个说法，排除错误结论，统计正确结论的数量即可得到答案。
【解析】
我们对四个说法逐一判断：
1. 判断①：因为PA、PB是$\odot O$的两条切线，A、B为切点，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此$PA=PB$，①正确。
2. 判断②：由$PA=PB$，且根据切线长定理，OP平分$∠ APB$，在等腰$△ PAB$中，顶角的平分线与底边上的高重合，因此$OP⊥ AB$，②正确。
3. 判断③：因为PA、PB是$\odot O$的切线，所以$∠ OAP=∠ OBP=90°$，取OP的中点Q，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$QA=QO=QP=QB$，即O、A、P、B四点到点Q的距离相等，因此四点共圆，四边形OAPB有外接圆，③正确。
4. 判断④：若点M是$△ AOP$的外接圆圆心，则需要满足$MO=MA=MP$，即$OP=2OM=2OA$，可推得$∠ APO=30°$，但题干没有给出该特殊条件，因此该结论不一定成立，④错误。
综上，正确的说法共3个。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，等腰三角形性质，四点共圆判定
【点评】
本题考查切线相关的几何结论判断，需要结合基础几何定理逐一验证，注意不能默认题干未给出的特殊条件，避免误判第四个结论。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先回忆圆的切线相关性质：1. 圆的切线垂直于过切点的半径，因此连接OA可得OA⊥PA，得到Rt△OAP；2. 从圆外一点引圆的两条切线，该点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此PO平分∠APB，结合已知∠APB=60°，可求出∠APO=30°。最后利用含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°
∵PA、PB是⊙O的两条切线，P为圆外一点
∴PO平分∠APB
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=2
∴$OA=\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}×2=1$
即⊙O的半径为1。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，切线长定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用考题，解题的关键是构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质计算边长，难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先梳理已知条件：PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理可推出PA=PB，因此△PAB是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，已知∠PAB的度数就能得到∠PBA的度数，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴由切线长定理可得：$PA=PB$
∴$△ PAB$为等腰三角形，$∠ PAB=∠ PBA$
已知$∠ PAB=52°$，因此$∠ PBA=52°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ P=180°-∠ PAB-∠ PBA=180°-52°-52°=76°$
【答案】
76
【知识点】
切线长定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的切线性质和三角形基础性质结合考查，熟练掌握相关定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

【分析】
(1) 过圆外一点作圆切线的作图逻辑是先构造以OP为直径的辅助圆，需要先找到OP的中点，作线段中点的标准尺规作图方法是作线段的垂直平分线，因此可确定步骤②的内容；
(2) 证明切线遵循切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，因此只需证明PB垂直于半径OB即可。由作图可知OP是⊙A的直径，根据直径所对圆周角为直角，可直接得到∠PBO=90°，满足垂直条件；
(3) 求△BCP的面积可选择PC为底，只需算出PC长度和PC边上的高即可。先根据已知条件计算OP、PC的长度，用勾股定理求出PB的长，再通过等面积法求出△PBO中OP边上的高BH，BH就是△BCP的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 补全作法②：作$OP$的垂直平分线，交$OP$于点$A$；
(2) 证明：连接$OB$。
由作图可知，点$A$是$OP$的中点，$OA=AB=AP$，因此$OP$是$\odot A$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ PBO=90°$，即$PB ⊥ OB$。
又$\because OB$是$\odot O$的半径，根据切线判定定理，直线$PB$是$\odot O$的切线。
(3) 过点$B$作$BH ⊥ OP$于点$H$。
$\because AO=3$，$A$是$OP$的中点，$\therefore PA=OA=3$，$OP=OA+PA=6$。
$\because OB=2$，$OC$是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OB=2$，$\therefore PC=OP-OC=6-2=4$。
在$Rt△ PBO$中，$∠ PBO=90°$，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=4\sqrt{2}$
由三角形面积公式，$S_{△ PBO}=\frac{1}{2} · PB · OB=\frac{1}{2} · OP · BH$，代入数值得：
$BH=\frac{PB · OB}{OP}=\frac{4\sqrt{2} × 2}{6}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$
因此$△ BCP$的面积为：
$S_{△ BCP}=\frac{1}{2} · PC · BH=\frac{1}{2} × 4 × \frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$
【答案】
(1) 垂直平分线；
(2) 直线PB是$\odot O$的切线，证明见解析；
(3) $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
1. 切线的判定；2. 圆周角定理推论；3. 勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图场景，综合考查了操作实践、几何证明和运算能力，既要求掌握基本的作图规则，也需要熟练运用圆的相关定理和等面积法解决计算问题，是圆章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7