【分析】
解题思路可分为三步：①首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠B的度数，求出∠C的度数；②根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OE⊥BC、OF⊥AC，即∠OEC、∠OFC均为90°；③最后利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠EOF的度数。
【解析】
1. 求∠C的度数：
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°
2. 结合切线性质推导直角：
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F是BC、AC边上的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，即∠OEC=∠OFC=90°
3. 计算∠EOF的度数：
在四边形OECF中，内角和为360°，因此：
∠EOF=360°-∠OEC-∠OFC-∠C=360°-90°-90°-60°=120°
【答案】
120
【知识点】
三角形内角和定理；切线的性质；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础角度计算题，核心是结合切线性质得到垂直关系，再利用多边形内角和公式求解，熟练掌握基础性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题的核心是利用三角形面积、周长与内切圆半径的关系求解。首先可根据三边长算出三角形的半周长，再结合已知的三角形面积，代入内切圆半径的计算公式求出半径，最后利用圆的面积公式计算内切圆的面积即可。
【解析】
设三角形的三边长分别为$a=5$，$b=7$，$c=8$，内切圆半径为$r$，三角形面积为$S$。
1. 计算三角形的半周长$s$：
$s=(a+b+c)÷2=(5+7+8)÷2=10$
2. 根据三角形面积与内切圆半径的关系公式$S=s· r$，代入已知$S=10\sqrt{5}$求解$r$：
$10\sqrt{5}=10r$
解得$r=\sqrt{5}$
3. 根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$计算内切圆面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π×(\sqrt{5})^2=5π$
【答案】
$\sqrt{5}$；$5π$
【知识点】
1. 三角形内切圆半径公式
2. 圆的面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查相关公式的直接应用，只要熟练掌握三角形面积和内切圆半径的关系，计算细心就能顺利得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算∠DEF的度数，首先明确∠DEF是内切圆上的圆周角，对应同弧的圆心角为∠DIF。解题步骤可分为三步：第一步，利用三角形内角和定理求出△ABC中∠A的度数；第二步，连接内切圆圆心与切点，根据切线的性质得到两个直角，在四边形中求出圆心角∠DIF的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
设△ABC的内切圆圆心为I，连接ID、IF。
1. 计算∠A的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 35° - 67° = 78°$
2. 计算圆心角$∠ DIF$的度数：
∵AB、AC分别与内切圆相切于点D、F
∴$ID⊥ AB$，$IF⊥ AC$，即$∠ ADI=∠ AFI=90°$
在四边形ADIF中，内角和为$360°$，因此
$∠ DIF = 360° - ∠ ADI - ∠ AFI - ∠ A = 360° - 90° - 90° - 78° = 102°$
3. 计算$∠ DEF$的度数：
∵$∠ DEF$是弧DF所对的圆周角，$∠ DIF$是弧DF所对的圆心角
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得
$∠ DEF = \frac{1}{2}∠ DIF = \frac{1}{2}×102° = 51°$
【答案】
51
【知识点】
三角形内切圆性质；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的角度计算常考题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，再结合四边形内角和、圆周角定理完成角度的转化与计算，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求三角形内切圆的半径，可利用三角形内心的性质：内心到三角形三边的距离都等于内切圆半径r。因此我们可以连接AI、BI、CI，将△ABC分割为三个高均为r的小三角形，三个小三角形的面积和等于△ABC的面积，因此只要先求出△ABC的面积，再结合三角形的周长即可求出r。求△ABC的面积时，已知三边长，我们可以过A作BC边上的高AH，设BH=x，利用Rt△ABH和Rt△ACH公共边AH的平方相等，结合勾股定理列方程求出x，进而求出高AH的长度，计算出△ABC的面积，最后代入面积关系即可求出r。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，设BH=x，则CH=5-x。
在Rt△ABH中，由勾股定理得$AH^2=AB^2 - BH^2=8^2 - x^2$，
在Rt△ACH中，由勾股定理得$AH^2=AC^2 - CH^2=7^2 - (5-x)^2$，
∴ $8^2 - x^2 = 7^2 - (5-x)^2$，
化简得$64 = 24 + 10x$，
解得$x=4$。
∴ $AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{64 - 16}=4\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AH = \frac{1}{2} × 5 × 4\sqrt{3}=10\sqrt{3}$。
连接AI、BI、CI，设内切圆⊙I的半径为r，
∵ I是△ABC的内心，
∴ 点I到AB、BC、AC三边的距离都等于r，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ ABI} + S_{△ BCI} + S_{△ ACI}$
$=\frac{1}{2} · AB · r + \frac{1}{2} · BC · r + \frac{1}{2} · AC · r$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC) · r$，
代入数值：$10\sqrt{3} = \frac{1}{2} × (8+5+7) · r$，
即$10\sqrt{3}=10r$，
解得$r=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1.三角形内心性质 2.勾股定理 3.三角形面积计算
【点评】
这道题是求解三角形内切圆半径的典型题型，核心方法是面积法，解题时需先利用勾股定理求出已知三边的三角形的面积，再结合内心的性质，通过分割三角形建立面积等式求解半径，计算过程中要注意方程化简和根式运算的准确性。
【难度系数】
0.65

【分析】
首先回忆三角形内心的定义与性质：三角形内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，且内心是三角形内切圆的圆心，满足切线长定理（圆外一点引圆的两条切线长度相等）。解题时先作内心到△ABD另外两边AB、AD的垂线，结合切线长定理把AB、AC的边长用BE的长度表示，再利用AB=AC的等量关系列方程求解即可。
【解析】
过点I作$IF⊥ AB$于点F，$IG⊥ AD$于点G。
∵I是$△ ABD$的内心，
∴I到$△ ABD$三边的距离相等，即$IF=IE=IG$，
根据切线长定理可得：$AF=AG$，$BF=BE$，$DE=DG$。
设$BE=x$，
∵$BD=10$，
∴$DE=BD-BE=10-x$，
则$BF=x$，$DG=DE=10-x$。
又
∵$AB=AC$，$AC=AD+CD=(AG+DG)+CD$，$AB=AF+BF$，且$AF=AG$，$CD=4$，
∴$AF + x = AG + (10-x) + 4$，
消去等号两边相等的$AF$和$AG$，得：
$x=10-x+4$，
解得$x=7$，即$BE=7$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，切线长定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用三角形内心的性质结合切线长定理实现线段的等量转化，通过等腰三角形边长相等的关系建立方程，将几何问题转化为一元一次方程求解，掌握基础的几何性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先连接OA、OB，利用切线的性质得到两个直角，再结合四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；由于点C是圆上不与A、B重合的点，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，最后根据圆周角定理分别计算两种情况下∠ACB的度数即可。
【解析】
1. 连接OA、OB
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°
2. 计算圆心角∠AOB的度数
四边形OAPB内角和为360°，已知∠APB=50°
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-50°=130°
3. 分两种情况计算∠ACB：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得
∠ACB=½∠AOB=½×130°=65°
②当点C在劣弧AB上时，优弧AB的度数为360°-130°=230°，根据圆周角定理得
∠ACB=½×230°=115°
综上，∠ACB的度数为65°或115°。
【答案】
65或115
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，分类讨论
【点评】
本题易因忽略点C的位置有两种情况而漏解，解题时要结合图形全面考虑圆上点的位置分布，熟练运用切线性质和圆周角定理求解即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是三角形内切圆相关的计算问题，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。由此可知AD=AF、BD=BE、CE=CF，我们可以设AD的长度为x，用含x的式子表示出BE、CE的长度，再结合BE+CE=BC=7的等量关系列方程，即可求出各段的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
设$AD=x$，则$AF=AD=x$，
$\therefore BD=AB-AD=5-x$，$CF=AC-AF=6-x$，
$\therefore BE=BD=5-x$，$CE=CF=6-x$，
$\because BE+CE=BC=7$，
$\therefore (5-x)+(6-x)=7$，
解得：$x=2$，
$\therefore AD=2$，$BE=5-2=3$，$CF=6-2=4$。
【答案】
2；3；4
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用切线长定理得到相等的线段，通过设未知数建立方程求解，熟练掌握切线长定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是求直角三角形内切圆半径的基础题，解题思路清晰：第一步先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边长度；第二步可选择两种常用方法求解半径：一是根据切线长定理，用半径r表示出各段切线段的长度，结合斜边总长度列方程求解；二是用面积法，将大三角形的面积拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，建立等式求解半径，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得斜边长度：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
设$\odot O$的半径为$r$，
根据切线长定理：内切圆与三角形三边相切，可得$CE=CF=r$，$BE=BD=BC-CE=3-r$，$AF=AD=AC-CF=4-r$，
又因为$BD+AD=AB$，代入得：
$(3-r)+(4-r)=5$
整理得$7-2r=5$，解得$r=1$。
也可通过面积法验证：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
同时三角形面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× r$，
代入数值：$6=\frac{1}{2}×(3+4+5)× r$，解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题考查直角三角形内切圆半径的计算，两种解题方法都是该模块的常考内容，熟练掌握相关定理和方法就能快速得出结果，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.8