1. 如图,在一幅长为80 cm,宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm²,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是 (
B
)
A.$x^2 +130x -1400=0$
B.$x^2 +65x -350=0$
C.$x^2 -130x -1400=0$
D.$x^2 -65x -350=0$
答案：1. B.
解析：
【分析】
解题时首先要明确镶完纸边后挂图的长和宽：因为纸边宽度为x，风景画的长、宽两侧都会各增加x的宽度，因此挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm；再根据矩形面积=长×宽，结合已知的挂图总面积列方程，最后将方程整理为一般形式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
已知金色纸边的宽为x cm，因此镶边后矩形挂图的长为$(80 + 2x)\mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可列方程：
$(80+2x)(50+2x)=5400$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
移项、合并同类项得：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
两边同时除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 方程化简
【点评】
本题是典型的图形镶边类应用题，解题的核心是准确表示出镶边后图形的长和宽，注意纸边在图形的两侧都存在，因此长和宽都要增加2倍的纸边宽度，避免出现只加x的错误，整体难度不高，掌握面积公式和方程化简方法即可正确求解。
【难度系数】
0.7
2. 要用一条长24 cm的铁丝围成一个斜边是10 cm的直角三角形，则这个直角三角形的直角边长分别为
6 cm 和 8 cm
。
答案：2. 6 cm 和 8 cm.
解析：
【分析】
首先明确铁丝总长就是直角三角形的周长，已知斜边长为10cm，可先算出两条直角边的长度和为24-10=14cm。结合直角三角形的勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），我们可以设其中一条直角边长为x cm，另一条直角边长就为(14-x)cm，代入勾股定理即可列出一元二次方程，求解后检验根是否符合边长为正的实际要求，就能得到最终结果。
【解析】
解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为$24 - 10 - x = (14 - x)$cm。
根据勾股定理列方程得：
$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$
$2x^2 - 28x + 96 = 0$
化简得：$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = 8$。
当$x=6$时，另一条直角边长为$14 - 6 = 8$cm；当$x=8$时，另一条直角边长为$14 - 8 = 6$cm，均符合边长为正数的实际意义。
【答案】
6 cm 和 8 cm
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是通过周长找到两条直角边的数量关系，再结合勾股定理建立方程，求解后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC=16\ \mathrm{cm}$,$AD$为$BC$边上的高,动点$P$从点$A$出发,沿$A\rightarrow D$方向以$\sqrt{2}\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$D$运动.设$△ ABP$的面积为$S_1$,矩形$PDFE$的面积为$S_2$,运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤8)$,则$t=\_\_\_\_\_\_\mathrm{s}$时,$S_1=2S_2$.
答案：3. 6.
解析：
【分析】
解题思路如下：首先根据等腰直角三角形的性质求出斜边上的高AD的长度，再结合动点P的运动速度和时间，用含t的代数式表示出AP、PD的长度；接下来分别推导△ABP的面积$S_1$和矩形PDFE的面积$S_2$的表达式；最后根据$S_1=2S_2$的等量关系列一元二次方程求解，舍去不符合运动实际的解即可得到结果。
【解析】
1. 求等腰直角三角形相关边长
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=16\ \mathrm{cm}$，$AD$为$BC$边上的高，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，得$AD=BD=DC=\frac{1}{2}BC=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 用含t的代数式表示线段长度
动点P运动速度为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AP=\sqrt{2}t\ \mathrm{cm}$，
$PD=AD-AP=8\sqrt{2}-\sqrt{2}t=\sqrt{2}(8-t)\ \mathrm{cm}$。
3. 计算$S_1$的表达式
$△ABP$以$AP$为底，$BD$为底边上的高，
则$S_1=\frac{1}{2}× AP× BD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}t×8\sqrt{2}=8t\ \mathrm{cm}^2$。
4. 计算$S_2$的表达式
∵四边形PDFE是矩形，
∴$PE// BC$，
∴$∠ APE=∠ ADC=90°$，又$∠ PAE=45°$，
∴$△ APE$是等腰直角三角形，$PE=AP=\sqrt{2}t\ \mathrm{cm}$，
矩形面积$S_2=PE× PD=\sqrt{2}t×\sqrt{2}(8-t)=2t(8-t)=16t-2t^2\ \mathrm{cm}^2$。
5. 列方程求解
根据$S_1=2S_2$列方程：
$8t=2×(16t-2t^2)$
整理得$4t^2-24t=0$，因式分解得$4t(t-6)=0$，
解得$t_1=0$，$t_2=6$，
∵$0＜t\le8$，$t=0$不符合运动实际，故舍去，得$t=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰直角三角形性质，列一元二次方程解应用题，动点面积计算
【点评】
本题属于几何动点与方程结合的综合题，解题核心是正确用含参数的代数式表示各段长度和对应图形的面积，再根据等量关系列方程求解，解题时需注意验证解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.6
某学校有一块长 $ a \ \mathrm{m} $，宽 $ b \ \mathrm{m} $ 的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为 2 m 的两条互相垂直的道路，余下的 4 块矩形小场地建成草坪。
（1）如图，请分别写出每条道路的面积；
（2）已知 $ a:b = 2:1 $，并且 4 块草坪的面积之和为 $ 312 \ \mathrm{m}^2 $，试求原来矩形场地的长与宽各是多少。
答案：（1）$2a\ \mathrm{m}^2$,$2b\ \mathrm{m}^2$；（2）长为28 m,宽为14 m.
解析：
【分析】
（1）求每条道路的面积直接用矩形面积公式“面积=长×宽”计算即可：横向道路长为$a$、宽为2m，纵向道路长为$b$、宽为2m，分别代入公式就能得到结果；（2）已知$a$和$b$的比例关系，可设未知数将$a$、$b$用含同一个未知数的式子表示，再通过平移道路把分散的4块草坪拼成一个新矩形，新矩形的长为$(a-2)\mathrm{m}$、宽为$(b-2)\mathrm{m}$，其面积等于草坪总面积，代入数值列方程求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
（1）横向道路是长为$a\ \mathrm{m}$、宽为$2\ \mathrm{m}$的矩形，面积为$a×2=2a\ \mathrm{m}^2$；
纵向道路是长为$b\ \mathrm{m}$、宽为$2\ \mathrm{m}$的矩形，面积为$b×2=2b\ \mathrm{m}^2$。
（2）$\because a:b=2:1$，$\therefore$ 设矩形场地的宽$b=x\ \mathrm{m}$，则长$a=2x\ \mathrm{m}$。
根据草坪总面积为$312\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$(2x-2)(x-2)=312$
展开整理得：
$2x^2-6x+4=312$
$x^2-3x-154=0$
因式分解得：
$(x-14)(x+11)=0$
解得$x_1=14$，$x_2=-11$，因为长度为正数，故舍去$x_2=-11$。
因此$b=14\ \mathrm{m}$，$a=2×14=28\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$2a\ \mathrm{m}^2$，$2b\ \mathrm{m}^2$；（2）长为28 m，宽为14 m。
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程的实际应用；比例的应用
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，通过平移道路将分散的草坪面积转化为整体矩形面积是简化计算的关键，求解方程后要注意结合实际场景舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
