【分析】
（1）已知点在抛物线上，将点的坐标直接代入抛物线解析式，代入x=-1计算即可求出m的值；
（2）先根据二次函数平移“上加下减”的规则写出平移后的抛物线解析式，再通过配方法将解析式化为顶点式，得到顶点纵坐标关于a的表达式，结合平方的非负性即可求出纵坐标的最大值。
【解析】
（1）将点$(-1,m)$代入抛物线解析式$y=x^2+(a+1)x+a$，得：
$\begin{aligned}m&=(-1)^2 + (a+1)×(-1) + a\\&=1 - a -1 + a\\&=0\end{aligned}$
（2）将原抛物线向上平移2个单位长度，根据平移规则，所得抛物线解析式为：
$y=x^2+(a+1)x+a + 2$
对解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2+(a+1)x + (\frac{a+1}{2})^2 - (\frac{a+1}{2})^2 + a + 2\\&=(x + \frac{a+1}{2})^2 - \frac{(a+1)^2}{4} + a + 2\end{aligned}$
所以平移后抛物线顶点的纵坐标为：
$\begin{aligned}n &= -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 2\\&= \frac{-a^2 -2a -1 + 4a + 8}{4}\\&= -\frac{(a-1)^2}{4} + 2\end{aligned}$
因为$(a-1)^2 ≥ 0$，所以$-\frac{(a-1)^2}{4} ≤ 0$，当$a=1$时，$n$取得最大值2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的点坐标特征；二次函数图象的平移；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，考查代入求值、函数平移规则、配方法求最值等核心考点，解题关键是熟练掌握二次函数的基础性质，灵活运用配方法变形代数式。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先明确二次函数的开口方向与对称轴，再结合增减性规律推导m的取值范围：第一步先通过二次项系数正负判断抛物线开口方向；第二步根据顶点式写出函数的对称轴；第三步结合开口方向确定y随x增大而增大对应的区间，再对照题目给出的$x≤2$时y随x增大而增大的条件，判断对称轴和$x=2$的位置关系，即可求出m的范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-m)^2+3$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定对称轴：该函数为顶点式，对称轴为直线$x=m$；
3. 结合增减性分析：开口向下的抛物线，在对称轴左侧（即$x≤m$时），y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
题目要求当$x≤2$时，y随x的增大而增大，说明$x≤2$这个区间完全在对称轴左侧（或与对称轴重合），因此$m≥2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础题型，解题核心是明确不同开口方向下二次函数增减性和对称轴的对应关系，最后要注意验证等号是否符合题意，避免漏选。
【难度系数】
0.7

【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：第一步先确定二次函数的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线，图象上的点离对称轴水平距离越远，对应的函数值越小；第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，根据距离大小即可判断函数值的大小关系，也可直接将各点横坐标代入解析式计算y值后比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质比较
对于二次函数$y=-x^2+2x+c$，其中$a=-1＜0$，$b=2$，
① 求对称轴：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，抛物线开口向下，因此抛物线上的点离对称轴$x=1$越远，函数值越小；
② 计算各点到对称轴的水平距离：
点$P_1(-1,y_1)$到对称轴的距离为$\vert -1-1\vert=2$，
点$P_2(3,y_2)$到对称轴的距离为$\vert 3-1\vert=2$，
点$P_3(5,y_3)$到对称轴的距离为$\vert 5-1\vert=4$，
③ 比较距离：$2=2＜4$，因此$y_1=y_2＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将三个点的横坐标分别代入解析式得：
$y_1=-(-1)^2+2×(-1)+c=-1-2+c=c-3$，
$y_2=-3^2+2×3+c=-9+6+c=c-3$，
$y_3=-5^2+2×5+c=-25+10+c=c-15$，
显然$c-3=c-3＞c-15$，即$y_1=y_2＞y_3$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴计算；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，既可以通过对称轴和开口方向快速判断函数值大小，也可以通过代入计算验证，解题时优先利用对称轴性质可提高做题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质，解题思路如下：首先将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，得到函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，再结合开口方向判断函数的增减性，最后利用根的判别式判断图象与$x$轴的交点个数，逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先将二次函数$y=-\frac{1}{4}x^2 + x - 4$配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{4}(x^2-4x)-4\\&=-\frac{1}{4}(x^2-4x+4-4)-4\\&=-\frac{1}{4}[(x-2)^2-4]-4\\&=-\frac{1}{4}(x-2)^2 +1 -4\\&=-\frac{1}{4}(x-2)^2 -3\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{4}＜0$，$\therefore$ 函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$，当$x=2$时，$y$有最大值$-3$。
逐一分析选项：
选项A：开口向下，在对称轴左侧即$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧即$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$不是一直随$x$增大而增大，A错误；
选项B：由顶点式可知，当$x=2$时，$y$有最大值$-3$，B正确；
选项C：图象顶点坐标为$(2,-3)$，不是$(-2,-7)$，C错误；
选项D：计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×(-\frac{1}{4})×(-4)=1-4=-3＜0$，因此图象与$x$轴没有交点，D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数顶点式转化；根的判别式应用
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，需要熟练掌握一般式配顶点式的方法，能结合开口方向、对称轴判断函数增减性和最值，会用判别式判断二次函数图象与x轴的交点情况。
【难度系数】
0.8

【分析】
要将二次函数一般式化为顶点式，需使用配方法，思路如下：首先提取二次项系数，把含x的项整理到括号内；接着在括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方，同时减去相同的数保证代数式的值不变；整理得到顶点式后，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，即可直接得出顶点坐标和对称轴，注意h的符号要对应正确。
【解析】
解：对二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x -1$进行配方：
1. 提取二次项系数，合并含x的项：
$y=-\dfrac{1}{2}(x^2 + 4x) -1$
2. 括号内凑完全平方：
$x^2+4x=(x^2+4x+4)-4=(x+2)^2-4$，代入原式得：
$y=-\dfrac{1}{2}[(x+2)^2 -4] -1$
3. 去括号整理得到顶点式：
$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2 + (-\dfrac{1}{2})×(-4) -1 = -\dfrac{1}{2}(x+2)^2 +2 -1 = -\dfrac{1}{2}(x+2)^2 +1$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，可得$h=-2$，$k=1$，因此顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴是直线$x=-2$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+1$；$(-2,1)$；直线$x=-2$
【知识点】
配方法；二次函数顶点式转化；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的运用以及顶点式对应的图象性质，解题时需注意提取二次项系数后，凑完全平方时的常数项变化，避免符号计算错误，熟练掌握该知识点是后续解决二次函数相关问题的基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决二次函数平移的问题，首先需明确抛物线的平移规律与顶点平移规律一致，遵循“左加右减，上加下减”的原则。解题思路如下：第一步先将给定的二次函数一般式通过配方转化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标；第二步确定目标抛物线的顶点坐标；第三步对比两个顶点的横、纵坐标变化，即可得出平移的方向和单位长度。
【解析】
首先对原抛物线解析式配方，化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2+x\\&=-\frac{1}{2}(x^2-2x)\\&=-\frac{1}{2}[(x^2-2x+1)-1]\\&=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(1,\frac{1}{2})$，目标抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
对比顶点坐标变化：横坐标从1变为0，即$1-1=0$，对应向左平移1个单位长度；纵坐标从$\frac{1}{2}$变为0，即$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，对应向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度。
【答案】
左；1；下；$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数配方
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心是通过顶点的平移确定抛物线的平移，需要熟练掌握二次函数一般式化为顶点式的配方方法，牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，避免混淆平移方向。
【难度系数】
0.8