1. 如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m.已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是$y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+4$，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是
$y=-\frac{1}{9}(x+6)^2+4$
.
答案：1. $y=-\frac{1}{9}(x+6)^2+4$。
解析：
【分析】
本题考查坐标系变换下二次函数解析式的求解，解题思路如下：首先明确抛物线的形状、开口方向不会随坐标系的平移改变，因此二次项系数a不变；接着找到原坐标系中抛物线的顶点坐标，再根据原点从A变为B的平移规则，求出新坐标系下抛物线的顶点坐标；最后将a和新顶点坐标代入二次函数顶点式，即可得到所求解析式。
【解析】
解：① 原坐标系以A为原点时，已知抛物线解析式为$y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+4$，可得抛物线的顶点坐标为$(6,4)$，二次项系数$a=-\frac{1}{9}$。
② 当坐标系原点改为B时，x轴仍为水平方向，y轴仍竖直向上，由于AB长12m，原坐标系中B点坐标为$(12,0)$，因此原坐标的横坐标减去12即为新坐标系的横坐标：原顶点横坐标6对应新坐标系的横坐标为$6-12=-6$，纵坐标不变仍为4，即新坐标系下抛物线顶点为$(-6,4)$。
③ 抛物线形状、开口方向不变，$a$仍为$-\frac{1}{9}$，代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得$y=-\frac{1}{9}[x-(-6)]^2+4$，化简得$y=-\frac{1}{9}(x+6)^2+4$。
【答案】
$y=-\frac{1}{9}(x+6)^2+4$
【知识点】
二次函数顶点式，坐标系平移，二次函数的性质
【点评】
本题结合实际拱桥场景考查二次函数的应用，解题核心是抓住坐标系平移时抛物线本身的参数（开口方向、大小）不变，仅顶点位置随坐标系平移发生变化，熟练掌握顶点式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为$y=ax^2+bx$.小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需
36
s.
答案：2. 36。
解析：
【分析】
解题思路如下：1. 回忆二次函数的性质：抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称；2. 已知10s和26s时拱梁高度相同，说明这两个时刻对应的抛物线上的点关于对称轴对称，可据此算出对称轴对应的行驶时间；3. 抛物线和x轴交于O、C两点，这两个交点同样关于对称轴对称，因此从O到对称轴的时间等于从对称轴到C的时间，总时间为对称轴对应时间的2倍，代入计算即可。
【解析】
∵ 小强骑行10 s和26 s时拱梁的高度相同，
∴ 这两个时刻对应的抛物线上的点纵坐标相等，两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线对称轴对应的行驶时间为 $\frac{10+26}{2}=18$（s），即小强骑行18 s时到达抛物线对称轴的位置。
又
∵ 抛物线$y=ax^2+bx$与x轴交于O、C两点，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴ 从O到对称轴的时间与从对称轴到C点的时间相等，均为18 s，
∴ 通过拱梁OC的总时间为 $18×2=36$（s）。
【答案】
36
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象与性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的拱桥场景考查二次函数对称性的应用，解题核心是抓住“纵坐标相等的两点关于对称轴对称”以及“抛物线与x轴的两个交点也关于对称轴对称”两个性质，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
问题 如何确定隧道中警示灯带的安装方案？
素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道. 隧道顶部横截面可视为抛物线，如图(1)，隧道底部宽AB为10 m，高OC为5 m.
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20 cm的警示灯带，沿抛物线安装，如图(2). 为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8 m(灯带宽度可忽略)；普通货车的高度大约为2.5 m(载货后高度)，货车顶部与警示灯带底部的安全距离应不少于50 cm. 灯带安装好后成轴对称分布.
问题解决
（1）任务1——确定隧道形状：在图(1)中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式.
（2）任务2——探究安装范围：在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围.
（3）任务3——拟定设计方案：求出同一个横截面下，最多能安装几条警示灯带，并根据你所建立的平面直角坐标系，求出最右边一条警示灯带安装点的横坐标.
名师指导
（1）任务1：以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法可得抛物线的函数解析式；
（2）任务2：根据普通货车的高度大约为2.5 m，警示灯带的长度为20 cm，货车顶部与警示灯带底部的安全距离应不少于50 cm，计算悬挂点的纵坐标的最小值；
（3）任务3：画出数轴，利用数形结合解答.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-5, 0)，B(5, 0)，抛物线顶点C(0, 5)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+5$，将$B(5,0)$代入得：
$0=25a+5$，解得$a=-\frac{1}{5}$。
∴抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{5}x^2+5\quad (-5≤ x≤ 5)}$。
（2）单位换算：$20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，$50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$。
由安全要求可知：灯带底部的最小高度为$2.5+0.5=3\ \mathrm{m}$，
因此灯带安装点（灯带顶部，在抛物线上）的纵坐标最小值为$3+0.2=3.2$，
结合抛物线顶点纵坐标为5，得灯带安装点纵坐标的取值范围是$\boldsymbol{3.2≤ y≤ 5}$。
令$y=3.2$，代入抛物线解析式：
$3.2=-\frac{1}{5}x^2+5$，解得$x^2=9$，即$x=\pm3$。
结合抛物线定义域，得灯带安装点横坐标的取值范围是$\boldsymbol{-3≤ x≤ 3}$。
（3）∵灯带成轴对称分布，对称轴为$x=0$，相邻灯带水平间距为$0.8\ \mathrm{m}$，
∴所有灯带安装点的横坐标为$0,\pm0.8,\pm1.6,\pm2.4,\pm3.2···$，
结合横坐标取值范围$-3≤ x≤ 3$，符合要求的横坐标为：$-2.4,-1.6,-0.8,0,0.8,1.6,2.4$，共7个。
∴同一个横截面下最多能安装7条警示灯带，最右边一条警示灯带安装点的横坐标为$2.4$。
答：同一个横截面下最多能安装7条警示灯带，最右边一条警示灯带安装点的横坐标为2.4。
解析：
【分析】
任务1：选择以O为原点、AB为x轴、OC为y轴建立平面直角坐标系，此时抛物线顶点已知，且与x轴的交点坐标明确，用待定系数法设顶点式代入点坐标即可求出解析式。
任务2：先统一单位，再根据安全要求依次算出灯带底部最小高度、灯带安装点（顶部）的最小纵坐标，结合抛物线顶点纵坐标得到纵坐标范围；将最小纵坐标代入解析式求解对应x值，即可得到横坐标的取值范围。
任务3：根据灯带轴对称分布、相邻水平间距0.8m的条件，列出所有可能的横坐标，筛选在横坐标取值范围内的点，统计点的数量就是最多可安装的灯带数，最大的正横坐标即为最右侧灯带的横坐标。
【解析】
（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-5, 0)，B(5, 0)，抛物线顶点C(0, 5)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+5$，将$B(5,0)$代入得：
$0=25a+5$，解得$a=-\frac{1}{5}$。
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{5}x^2+5\quad (-5≤ x≤ 5)$。
（2）单位换算：$20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，$50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$。
由安全要求可知：灯带底部的最小高度为$2.5+0.5=3\ \mathrm{m}$，
因此灯带安装点（灯带顶部，在抛物线上）的纵坐标最小值为$3+0.2=3.2$，
结合抛物线顶点纵坐标为5，得灯带安装点纵坐标的取值范围是$3.2≤ y≤ 5$。
令$y=3.2$，代入抛物线解析式：
$3.2=-\frac{1}{5}x^2+5$，解得$x^2=9$，即$x=\pm3$。
结合抛物线定义域，得灯带安装点横坐标的取值范围是$-3≤ x≤ 3$。
（3）
∵灯带成轴对称分布，对称轴为$x=0$，相邻灯带水平间距为$0.8\ \mathrm{m}$，
∴所有灯带安装点的横坐标为$0,\pm0.8,\pm1.6,\pm2.4,\pm3.2···$，
结合横坐标取值范围$-3≤ x≤ 3$，符合要求的横坐标为：$-2.4,-1.6,-0.8,0,0.8,1.6,2.4$，共7个。
∴同一个横截面下最多能安装7条警示灯带，最右边一条警示灯带安装点的横坐标为$2.4$。
【答案】
（1）抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{5}x^2+5\ (-5≤ x≤ 5)}$；
（2）横坐标取值范围：$\boldsymbol{-3≤ x≤ 3}$，纵坐标取值范围：$\boldsymbol{3.2≤ y≤ 5}$；
（3）最多能安装7条警示灯带，最右边一条灯带安装点的横坐标为$\boldsymbol{2.4}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题结合隧道灯带安装的实际场景考查二次函数相关知识，解题时需先建立合适的坐标系简化计算，注意单位统一，结合题目限制条件逐步推导，利用抛物线的对称性能快速求解横坐标取值和灯带数量，有效考查了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.65
