例1 一个不透明的袋中有5个白球、k个红球，经过反复多次试验，从中任取1个恰为红球的频率约为66.7%，k最可能的值为（
A
）.
A.10
B.16
C.18
D.20
答案：解 $\frac{k}{k+5}\approx66.7\%,k\approx10$,选择 A.
解析：
【分析】
这道题是利用频率估计概率的典型题型，解题思路如下：第一步，明确反复多次试验后，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此任取1个是红球的概率约等于66.7%；第二步，回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中任取红球的概率就是红球个数除以袋中球的总个数；第三步，代入已知量列方程，求解k的值即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵反复多次试验后，任取1个恰为红球的频率约为66.7%，
∴任取1个是红球的概率$P\approx66.7\%\approx\frac{2}{3}$。
袋中球的总个数为$(k+5)$个，红球有$k$个，根据概率公式可得：
$\frac{k}{k+5} \approx \frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3k \approx 2(k+5)$
展开得：$3k \approx 2k + 10$
移项解得：$k \approx 10$
因此k最可能的值为10。
【答案】A
【知识点】
频率估计概率；简单事件概率计算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，当试验次数足够多时，频率可近似代替概率，再结合概率公式列等式计算即可，计算时把66.7%近似为$\frac{2}{3}$能简化运算。
【难度系数】
0.7
例2 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数.
（1）请写出所有可能得到的三位数.
（2）甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲获胜；否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？试说明理由.
答案：（1）所有得到的三位数有 24 个,分别为:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432 （2）这个游戏不公平.理由如下:组成的三位数中是“伞数”的有:132,142,143,231,241,243,341,342,共有 8 个,所以,甲胜的概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$,而乙胜的概率为$\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$,这个游戏不公平
解析：
【分析】
（1）要写出所有无重复数字的三位数，可按百位数字分类枚举：百位分别取1、2、3、4，再对剩余3个数字排列组成十位和个位，按顺序列举可避免重复或遗漏。
（2）判断游戏是否公平，需先根据“伞数”的定义筛选出所有符合条件的伞数，再分别计算甲、乙获胜的概率，若两人获胜概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）按百位数字分类列举：
当百位为1时，组成的三位数有：123，124，132，134，142，143；
当百位为2时，组成的三位数有：213，214，231，234，241，243；
当百位为3时，组成的三位数有：312，314，321，324，341，342；
当百位为4时，组成的三位数有：412，413，421，423，431，432；
共24个三位数。
（2）根据“伞数”的定义（十位数字比个位、百位数字都大），从上述24个三位数中筛选出伞数：132，142，143，231，241，243，341，342，共8个。
总共有24种等可能的结果，甲获胜的情况有8种，乙获胜的情况有24-8=16种，
所以甲获胜的概率$P(甲)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，
乙获胜的概率$P(乙)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，所以这个游戏不公平。
【答案】
（1）所有可能得到的三位数有24个，分别为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432；
（2）这个游戏不公平，理由：甲胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙胜的概率为$\frac{2}{3}$，二者概率不相等，因此游戏不公平。
【知识点】
枚举法、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合新定义考查了排列枚举和概率的实际应用，解题核心是按规律枚举所有情况，做到不重不漏，再通过比较双方获胜的概率判断游戏公平性，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
