【分析】
(1) 逐一分析反比例函数性质相关选项：先明确反比例函数增减性的适用范围，再判断对称性、旋转后的解析式是否正确。
(2) ① 利用反比例函数关于原点中心对称的性质，得到对角线的数量关系，结合平行四边形判定定理推导四边形形状；② 平行四边形要成为矩形，需对角线相等，据此列等式推导m、n的数量关系；③ 先求出A点坐标，再利用割补法计算△AOC的面积，结合平行四边形面积是4倍△AOC面积，推导得到S与n的函数表达式。
【解析】
(1) 对各选项判断如下：
A选项：$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，跨象限不满足该性质，故A错误；
B选项：反比例函数图象均关于原点成中心对称，故B正确；
C选项：反比例函数图象关于直线$y=x$、$y=-x$均成轴对称，故C正确；
D选项：将$y=\frac{6}{x}$上任意点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°得$(-y,x)$，代入原解析式得$x=\frac{6}{-y}$，即$y=-\frac{6}{x}$，故D正确。
因此(1)选BCD。
(2) ① 因为反比例函数图象关于原点中心对称，过原点的直线与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，因此$OA=OB$，$OC=OD$。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ACBD是平行四边形。
② 平行四边形为矩形时需对角线相等，即$AB=CD$，因此$OA=OC$。由坐标得$OA^2=m^2+(\frac{6}{m})^2$，$OC^2=n^2+(\frac{6}{n})^2$，整理等式得$m^2n^2=36$，因$m＞n＞0$，故$mn=6$。
③ 当$m=3$时，$A(3,2)$，$C(n,\frac{6}{n})$。平行四边形ACBD的面积为$4S_{△ AOC}$，用割补法计算：
过A作x轴垂线、过C作y轴垂线交于G，$S_{矩形OEGF}=3×\frac{6}{n}=\frac{18}{n}$，$S_{△ AOE}=3$，$S_{△ COF}=3$，$S_{△ ACG}=\frac{1}{2}(3-n)(\frac{6}{n}-2)$，因此
$S_{△ AOC}=\frac{18}{n}-3-3-\frac{1}{2}(3-n)(\frac{6}{n}-2)=\frac{9}{n}-n$
则$S=4S_{△ AOC}=\frac{36}{n}-4n$。
【答案】
(1) $\boxed{BCD}$
(2) ① 四边形ACBD是平行四边形，理由：根据反比例函数图象的对称性可知，经过原点的正比例函数图象与反比例函数图象的交点关于原点对称，所以$OA=OB$，$OC=OD$，所以四边形ACBD是平行四边形。
② $\boxed{mn=6}$
③ $\boxed{S=\frac{36}{n}-4n}$，理由：如图
，分别过点C,A做x,y轴的平行线交于点G，当m=3时，点A坐标为(3,2)，根据题意得，点C坐标为$(n,\frac{6}{n})$，点G坐标为$(3,\frac{6}{n})$ 由①可得 $S_{□ ACBD}=4S_{△ AOC}=4(S_{矩形OEGF}-S_{△ AOE}-S_{△ COF}-S_{△ ACG})=4× [ 3× \frac{6}{n}-3-3-\frac{1}{2}× (3-n)× (\frac{6}{n}-2)]=\frac{36}{n}-4n$
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，既考查了反比例函数的对称性、几何意义等核心知识，也考查了特殊四边形的判定方法，解题时要注意坐标法、割补法的灵活运用，是函数结合几何的典型考法。
【难度系数】
0.6
