【分析】
解题时首先明确本题考查一元二次方程的定义，先回忆一元二次方程的判定要求：一元二次方程需要同时满足4个条件：是整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。观察题干给出的方程$ax^2 -3x +2=0$，已经满足整式方程、仅含未知数$x$的要求，要使其为一元二次方程，需保证二次项$ax^2$的系数不为0，即$a≠0$，再对应匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，若$a=0$，方程将变为$-3x+2=0$，属于一元一次方程，不符合要求。因此要使$ax^2 -3x +2=0$是一元二次方程，需满足$a≠0$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程定义的掌握，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的隐含要求，牢记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个必须同时满足的条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式有意义）。解题时先求解分子等于0时x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的增根，即可得到正确的x值。
【解析】
若分式$\dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1}=0$，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$x^2 + x - 2 = 0$
对等式左边因式分解可得：$(x+2)(x-1)=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=1$
2. 分母不等于0：$x-1≠0$，即$x≠1$
因此需舍去增根$x=1$，最终可得$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件、解一元二次方程、分式方程验根
【点评】
本题属于分式求根的基础题型，易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，误将增根$x=1$当成正确解，解题时要牢记分式有意义的前提，求出分子的根后必须完成验根步骤。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解这道题，首先需要明确桌布的长、宽和桌面长、宽的关系，再结合面积的等量关系列方程。首先，四周垂下的边宽都是x cm，意味着桌布的长比桌面的长左右各多x cm，总共多2x cm；桌布的宽比桌面的宽上下各多x cm，总共多2x cm。其次找到等量关系：桌布的面积=桌面面积×2，再结合矩形面积公式即可列出对应的方程，注意避免只加单侧x的错误。
【解析】
步骤1：表示桌布的长和宽
已知桌面长150cm，宽100cm，四周垂下的边宽为x cm，因此桌布的长为$(150 + 2x)$ cm，桌布的宽为$(100 + 2x)$ cm。
步骤2：确定面积等量关系
桌面面积为$150 × 100$ cm²，由题意桌布面积是桌面的2倍，因此桌布面积为$150 × 100 × 2$ cm²。
步骤3：根据矩形面积公式列方程
矩形面积=长×宽，因此可列方程：
$(150 + 2x)(100 + 2x) = 150 × 100 × 2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 矩形面积计算
【点评】
本题是面积类实际应用题的典型考题，解题核心是准确表示出扩大后矩形的长和宽，需注意当矩形四周均匀延伸相同长度时，长和宽的增量均为延伸长度的2倍，避免漏算单侧延伸量出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可结合直角三角形的勾股定理与已知条件列方程求解。解题思路如下：首先明确直角三角形三边满足勾股定理，已知两条直角边的和，我们可以设其中一条直角边的长度为未知数，用含未知数的式子表示另一条直角边，再代入勾股定理列出一元二次方程，解方程即可得到两条直角边的长度；也可直接将选项代入条件验证，快速得到答案。
【解析】
解法一：列方程求解
设其中一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$6-x$。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边长为$2\sqrt{5}$，可得：
$x^2 + (6-x)^2 = (2\sqrt{5})^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 20 \\2x^2 - 12x + 16 = 0 \x^2 - 6x + 8 = 0$
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
因此两条直角边的长为2和4。
解法二：代入验证法
四个选项中两个数的和均为6，只需验证两个数的平方和是否等于斜边的平方$(2\sqrt{5})^2=20$即可：
A选项：$1^2+5^2=1+25=26≠20$，不符合；
B选项：$2^2+4^2=4+16=20$，符合条件。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，核心考查勾股定理的实际应用，解题的关键是找准等量关系列方程，也可通过代入选项的方法提高解题效率，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先根据方程系数写出两根之和、两根之积的表达式，再结合题目给出的两根倍数关系，联立求出两个根的具体值，最后代入两根之积的表达式就能算出k的值。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 -3x +k=0$的两个根
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
代入本题系数$a=1,b=-3,c=k$，可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=k$
又
∵$x_1=2x_2$，将其代入$x_1+x_2=3$得：
$2x_2 + x_2 = 3$
解得$x_2=1$，则$x_1=2×1=2$
∴$k=x_1x_2=2×1=2$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
韦达定理；代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，熟练掌握一元二次方程两根之和、两根之积与系数的对应关系，结合已知的根的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
观察两个方程的结构可以发现，两个方程形式完全一致，仅第二个方程中把未知数替换成了$(x-1)$。我们可以利用整体代换的思想，将$(x-1)$看作一个整体，结合已知第一个方程的解，先得到$(x-1)$的取值，再进一步计算$x$的值，即可得到第二个方程的解。
【解析】
设$t = x - 1$，则方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$可变形为：
$at^2 + bt + c = 0$
已知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$，即方程$at^2 + bt + c = 0$的解为$t_1=-1$，$t_2=3$。
因此可得：
$x - 1 = -1$ 或 $x - 1 = 3$
分别解两个一元一次方程：
当$x - 1 = -1$时，$x = 0$；
当$x - 1 = 3$时，$x = 4$。
所以方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$的解为$x_1=0,x_2=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 整体代换思想
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程解的应用的典型题型，解题核心是观察方程的结构特征，运用整体代换的思想简化计算，不需要展开求解方程，即可快速得到答案，解题时注意不要混淆代换的关系即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，首先需要先把方程左边的多项式乘积展开，再通过移项把所有项都移到等号左边，最后合并同类项，整理成$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，通常要求$a＞0$）的形式，再对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$即可，注意移项要变号，系数的符号要带对。
【解析】
第一步：展开方程左边的乘积：
$(1-3x)(x+3)=1· x +1×3 -3x· x -3x×3 = x + 3 - 3x^2 -9x = -3x^2 -8x +3$
第二步：将原方程右边的项移到左边，使右边为0：
$-3x^2 -8x +3 -2x^2 -1 = 0$
第三步：合并同类项：
$(-3x^2-2x^2) + (-8x) + (3-1) = 0$
即$-5x^2 -8x +2 = 0$
第四步：将二次项系数化为正数，两边同时乘$-1$，得到一元二次方程的一般形式：
$5x^2 +8x -2 = 0$
对应一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=5$，$b=8$，$c=-2$。
【答案】
$5x^2+8x-2=0,5,8,-2$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简规则，解题时需注意移项要变号，整理时通常要将二次项系数调整为正数，确定$a、b、c$时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9

【分析】
这是一道一元二次方程求根的基础题，解题时不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先通过移项将方程整理为标准形式，再用因式分解法把方程转化为两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的所有根。
【解析】
解：先移项，将等号右侧的$-x$移到左侧，得：
$x^2 + x = 0$
对左侧提取公因式$x$进行因式分解，得：
$x(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x=0$ 或 $x+1=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x=-1$
因此原方程的根为$x_1=-1$，$x_2=0$
【答案】
$x_1=-1,x_2=0$
【知识点】
一元二次方程求解；因式分解法解方程
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的基础解法，解题时要注意规避直接两边除以含未知数的式子的错误操作，避免出现漏根问题，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$，这是解本题的核心依据。首先先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式得到关于$k$的方程，求解该方程即可得到$k$的值，注意计算时不要遗漏负数解。
【解析】
解：已知一元二次方程$x^2 + 2kx + 1 = 0$有两个相等的根，根据一元二次方程根的判别式规则：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=2k$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (2k)^2 - 4×1×1 = 4k^2 - 4$
令$\Delta=0$，可得：
$4k^2 - 4 = 0$
化简得$k^2=1$，解得$k=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题关键是熟记判别式公式以及不同取值对应的根的三种情况，计算时注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题已知三角形三边为连续自然数，且三边平方和为50，要求最大边长。解题时可利用连续自然数的特点合理设未知数，为简化计算，优先设中间长度的边长为x，则较小边为x-1，最大边为x+1，再根据“三边平方和是50”的等量关系列一元二次方程，求解后验证三边是否满足三角形三边关系，最终得到最大边长即可。
【解析】
解：设三角形三边中，中间长度的边长为$x$（$x$为大于1的自然数），则另外两边长分别为$x-1$、$x+1$。
根据三边平方和为50，列方程得：
$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 50$
展开并化简方程：
$x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 50$
合并同类项得：
$3x^2 + 2 = 50$
移项、系数化为1得：
$x^2 = 16$
解得$x=4$（边长为正数，舍去负根$x=-4$）。
则三边长分别为$4-1=3$、$4$、$4+1=5$，验证三边关系：$3+4＞5$，满足三角形构成条件。
因此该三角形的最大边长为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；三角形三边关系；自然数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用方程思想解决几何边长问题，合理选择中间量设未知数可大幅简化计算过程，同时要注意求解后需验证边长是否符合三角形构成条件，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察给定的方程，已经因式分解为一次式和二次式相乘的形式，因此方程的根包含一次因式对应的根，以及二次因式对应的两个根。首先可直接得到一次因式$x-2=0$对应的根为$x=2$，接下来分析二次因式$ax²+bx+c=0$的根：已知$4-\sqrt{15}$是原方程的根，且$4-\sqrt{15}≠2$，因此它是二次方程的根；又因为$a、b、c$都是有理数，根据有理系数一元二次方程的无理根共轭特性，若存在形如$m-\sqrt{n}$的无理根，则必有另一个共轭无理根$m+\sqrt{n}$，这样才能保证两根之和、两根之积均为有理数，符合系数为有理数的要求，由此可推出二次方程的另一个根为$4+\sqrt{15}$，去掉已知的根$4-\sqrt{15}$，剩下的两个就是要求的根。
【解析】
解：对于方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$，
1. 令$x-2=0$，解得$x=2$，这是方程的一个根；
2. 剩余两个根是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根，已知$4-\sqrt{15}$是原方程的根，且$4-\sqrt{15}≠2$，因此$4-\sqrt{15}$是$ax^2+bx+c=0$的一个根；
3. 因为$a,b,c$均为有理数，根据有理系数一元二次方程的无理根共轭性质：若$m-\sqrt{n}$（$m,n$为有理数，$\sqrt{n}$是无理数）是方程的根，则$m+\sqrt{n}$也是方程的根，因此$ax^2+bx+c=0$的另一个根为$4+\sqrt{15}$；
综上，原方程的三个根为$2,4-\sqrt{15},4+\sqrt{15}$，已知一个根是$4-\sqrt{15}$，因此另外两个根为$2$和$4+\sqrt{15}$。
【答案】
$2,4+\sqrt{15}$
【知识点】
因式分解法解方程；韦达定理；有理系数方程根的性质
【点评】
本题考查高次方程的求解与有理系数一元二次方程根的特性，解题的关键是先拆分因式得到明确的根$x=2$，再利用有理系数方程无理根成对出现的规律求出二次方程的另一个根，整体逻辑清晰，需要掌握无理根的共轭特点。
【难度系数】
0.7