【分析】
（1）比较圆外角∠BDC与圆周角∠A的大小，可借助三角形外角大于任意不相邻内角的性质，结合同弧所对圆周角相等证明：作辅助线构造△BDE，得弧BC所对的圆周角∠BEC＞∠BDC，再由∠A=∠BEC即可得结论。
（2）比较圆内角∠BDC与圆周角∠A的大小，同理延长CD交圆于点F，构造△BDF，得∠BDC＞弧BC所对的圆周角∠BFC，再由∠A=∠BFC即可得结论。
（3）根据前两问结论可知：过M、N的圆与y轴相切时，切点P对应的∠MPN最大（y轴上其余点要么在圆外对应角更小，要么不存在更小的过M、N且与y轴有交点的圆）。设圆心为O'，利用切线性质得半径等于圆心横坐标，结合垂径定理求MN的中点，再用勾股定理列方程求半径，即可得P点坐标，需分y轴正、负半轴两种情况讨论。
【解析】
（1）$\boldsymbol{∠A＞∠BDC}$，理由如下：
如图①，设CD交$\odot O$于E，连接BE。
∵$∠ BEC$是$△ BDE$的外角，
∴$∠ BEC=∠ BDC+∠ DBE$，可得$∠ BEC＞∠ BDC$。
又
∵$∠ A$与$∠ BEC$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ BEC$，因此$∠ A＞∠ BDC$。
（2）$\boldsymbol{∠A＜∠BDC}$，理由如下：
如图②，延长CD交$\odot O$于点F，连接BF。
∵$∠ BDC$是$△ BDF$的外角，
∴$∠ BDC=∠ BFC+∠ FBD$，可得$∠ BDC＞∠ BFC$。
又
∵$∠ A$与$∠ BFC$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ BFC$，因此$∠ A＜∠ BDC$。
（3）由（1）（2）的结论可得：当点P是经过M，N两点的圆和y轴相切的切点时，$∠ MPN$度数最大，分两种情况计算：
① 当点P在y轴的正半轴上时，如图③所示，设$\odot O'$和y轴相切，连接$O'P$，$O'M$，$O'N$，作$O'H⊥MN$，则四边形$OPO'H$是矩形，且由垂径定理得$MH=HN$。
∴$OP=O'H$，$O'P=OH=O'M$。
∵点M，N的坐标为$(1,0)$，$(4,0)$，
∴$OM=1$，$MN=4-1=3$，则$MH=HN=\frac{1}{2}MN=\frac{3}{2}$。
设$O'P=OH=O'M=x$，则$MH=OH-OM=x-1$，因此$x-1=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{5}{2}$。
在$Rt△ O'MH$中，由勾股定理得：$O'H=\sqrt{O'M^2-MH^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=2$，即$OP=2$，故点P的坐标为$(0,2)$。
② 当点P在y轴的负半轴上时，如图④，同理可得$O'H=OP=2$，故点P的坐标为$(0,-2)$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠A＞∠BDC}$，理由见解析；
（2）$\boldsymbol{∠A＜∠BDC}$，理由见解析；
（3）当$∠ MPN$度数最大时，点P的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$或$\boldsymbol{(0,-2)}$
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、切线的性质
【点评】
本题属于圆的综合探究题，前两问通过作辅助线探究了圆内角、圆外角与同弧所对圆周角的大小关系，为第三问的角度最值问题提供了推导依据。解题的核心是结合前两问结论确定角度最大时点P的位置，再结合圆的性质与勾股定理计算坐标，综合考察了类比推理能力与数形结合思想。
【难度系数】
0.6
