【分析】
解题时从圆的核心要素（圆心、半径）入手思考：①过一个点作圆：只需要满足圆心到该点的距离等于半径即可，圆心无其他位置限制，因此可作的圆数量不受限；②过两个点作圆：圆心需要满足到两个点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质，所有符合要求的圆心都在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可作无数个圆；③过三个点作圆：若三点共线，不存在到三个点距离都相等的点，无法作圆，只有三点不共线时，两两连线的垂直平分线交于唯一一点作为圆心，对应唯一的圆。
【解析】
1. 经过一个点时，平面内除该点外的任意点都可作为圆心，半径为圆心到该点的距离，因此可以作无数个圆；
2. 经过两点时，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，所有符合要求的圆心都在两点连线段的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个不同的半径，因此可以作无数个圆，圆心都在两点连线段的垂直平分线上；
3. 若三点共线，不存在同时到三个点距离相等的点，无法作圆；只有三点不共线时，三点两两连线的垂直平分线交于唯一一点（即圆心），对应唯一的半径，因此只能作1个圆。
综上，四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
无数，无数，两点连线段的垂直平分线，不共线
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；圆的定义
【点评】
本题是对确定圆的条件的基础考查，需要结合圆的定义和线段垂直平分线的性质理解记忆相关结论，特别要注意过三点作圆的前提是三点不共线，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题考查三角形外心的相关基础概念，解题时可从外心的定义、形成、性质三个角度逐一匹配三个空：首先回忆外心的从属概念，外心是三角形某一特殊圆的圆心；其次思考外心的形成逻辑，要找到同时到三角形三个顶点距离相等的点，需结合线段垂直平分线的性质推导它是哪几条线的交点；最后结合交点的性质，明确它到哪类点的距离相等，依次填入对应内容即可。
【解析】
1. 第一个空：三角形外接圆是指经过三角形三个顶点的圆，该圆的圆心就是三角形的外心，因此第一个空填“外接圆”；
2. 第二个空：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，要同时满足到三角形三个顶点的距离相等，该点必然是三角形三边垂直平分线的公共交点，因此第二个空填“三边垂直平分线”；
3. 第三个空：由垂直平分线的性质可推导，三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离均相等，这个距离就是外接圆的半径，因此第三个空填“三角形各个顶点”。
【答案】
外接圆，三边垂直平分线，三角形各个顶点
【知识点】
三角形外心的概念；线段垂直平分线的性质；三角形外接圆的概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对三角形外心相关定义和性质的识记，熟练掌握基础几何概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
要计算直角三角形外接圆的半径，首先需要明确直角三角形外心的位置特点：三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心恰好落在斜边的中点上，因此外接圆的直径就等于斜边的长度。所以解题时先利用勾股定理求出斜边长，再将斜边长除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，两直角边长分别为6和8，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因为直角三角形外接圆的直径等于斜边的长度，所以外接圆半径为斜边长的一半，即：
$r=\frac{10}{2}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是记住直角三角形外接圆直径与斜边的等量关系，结合勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断过A、B两点且半径为3的圆的个数，首先明确过两点的圆的圆心必在两点连线的垂直平分线上，且圆心到两点的距离等于半径。我们可以通过两种思路判断：思路1：圆上任意两点的最大距离为直径，先计算直径长度，和AB长度比较；思路2：结合勾股定理，判断垂直平分线上是否存在到A点距离为3的点，若不存在则没有符合条件的圆。
【解析】
方法1：圆中最长的弦是直径，已知圆的半径为3，则直径为$2×3=6$。
若A、B两点都在圆上，则AB为圆的弦，弦长最大不能超过直径6，而题目中$AB=7＞6$，因此不存在这样的圆。
方法2：过A、B的圆的圆心O在AB的垂直平分线上，且$OA=OB=3$。
取AB中点M，则$AM=AB÷2=3.5$。
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：$OA^2=OM^2+AM^2$，
代入数据得：$3^2=OM^2+3.5^2$，即$OM^2=9-12.25=-3.25$，
平方数不可能为负，说明不存在这样的圆心O，因此满足条件的圆有0个。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的性质；圆的基本性质
【点评】
本题解题关键是掌握过两点的圆的圆心位置规律，也可通过圆中弦长的取值范围快速判断，避免复杂计算，易错点是忽略弦长不能超过直径的隐含条件，误选有2个圆的选项。
【难度系数】
0.7

【分析】要判断三个点能否确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三个点可以确定一个圆”，因此我们只需先判定A、B、C三点是否共线即可。解题步骤可分为三步：首先用待定系数法求过A、B两点的直线解析式，再将点C的横坐标代入解析式计算对应纵坐标，最后对比计算结果和点C的实际纵坐标，判断点C是否在直线AB上，进而得出结论。
【解析】先判断A、B、C三点是否共线：
设过点$A(1,-1)$、$B(-2,5)$的直线解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}k+b=-1\\-2k+b=5\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$3k=-6$，解得$k=-2$；
将$k=-2$代入$k+b=-1$，得$-2+b=-1$，解得$b=1$。
因此直线AB的解析式为$y=-2x+1$。
验证点$C(4,-6)$是否在直线AB上：
把$x=4$代入$y=-2x+1$，得$y=-2×4+1=-7$，和点C的纵坐标$-6$不相等，说明点C不在直线AB上，即A、B、C三点不共线。
根据不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，可知这三个点可以确定一个圆。
【答案】可以
【知识点】确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；点与直线的位置判定
【点评】本题考查三点确定圆的条件，解题关键是掌握“不共线的三点确定唯一圆”的性质，结合一次函数的知识判定三点是否共线即可，属于基础题型。
【难度系数】0.8

【分析】
三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时先确定三个顶点的坐标，观察到BC为竖直线段，可快速求出它的垂直平分线，得到外心的纵坐标，再利用外心到两顶点距离相等列方程求出横坐标即可。
【解析】
首先从坐标系中提取△ABC三个顶点的坐标：$A(4,6)$，$B(2,4)$，$C(2,0)$。
1. 求BC的垂直平分线：B、C两点横坐标均为2，故BC是竖直线段，其中点坐标为$(2,\frac{0+4}{2})=(2,2)$。竖直线的垂线为水平线，因此BC的垂直平分线为直线$y=2$，可知外接圆圆心的纵坐标为2，设圆心坐标为$(x,2)$。
2. 根据外心到各顶点距离相等，可得外心到A、C的距离平方相等：
$(x-4)^2+(2-6)^2=(x-2)^2+(2-0)^2$
展开化简：
$(x-4)^2+16=(x-2)^2+4$
$x^2-8x+16+16=x^2-4x+4+4$
$-8x+32=-4x+8$
解得$x=6$。
因此△ABC外接圆的圆心坐标为$(6,2)$。
【答案】
$(6,2)$
【知识点】
外心的性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题解题的突破口是利用特殊边BC的位置特征，快速确定垂直平分线，减少计算量，核心考查对三角形外心性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在该外接圆上。由此可知∠A是外接圆中弧BC所对的圆周角，∠BOC是同一段弧BC所对的圆心角，再结合圆周角定理中同弧所对圆心角和圆周角的倍数关系，就能求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O为△ABC的外心，
∴A、B、C三点在以O为圆心的外接圆上，
∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A=2×80°=160°。
【答案】
160
【知识点】
三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握外心是三角形外接圆的圆心，再结合同弧所对圆心角与圆周角的数量关系计算即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先回忆外心的性质：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因此垂直于三角形两边的OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，可得D、E分别为AB、AC的中点，此时DE是△ABC的中位线，可得到DE与BC的数量关系；再观察M、N是OD、OE的中点，可知MN是△ODE的中位线，得到MN与DE的数量关系，结合已知MN的长度，即可逐步求出BC的长度。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC
∴D是AB的中点，E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理，得$DE=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2DE$
又
∵M、N分别是OD、OE的中点
∴MN是△ODE的中位线
根据三角形中位线定理，得$MN=\frac{1}{2}DE$，即$DE=2MN$
已知$MN=1$，则$DE=2×1=2$
∴$BC=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形外心的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查外心性质与中位线定理的结合应用，解题的关键是准确识别两次三角形中位线，通过中位线的倍分关系建立已知线段与待求线段的联系，难度不大。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路如下：第一步先利用圆的周长公式计算出$\odot O$的半径；第二步回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形的边长与它的外接圆半径相等，即可求出正六边形的边长。
【解析】
已知$\odot O$的周长为$6π$，根据圆的周长公式$C=2π r$（其中$r$为圆的半径），可得：
$2π r=6π$，
解得$r=3$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此由正六边形的一边和过这条边两端点的半径构成的三角形为等边三角形，故正六边形的边长等于外接圆的半径，即正六边形的边长为3。
【答案】
3
【知识点】
圆的周长计算；正多边形与圆的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考点是正六边形和其外接圆的对应关系，解题的关键是掌握“正六边形的边长等于外接圆半径”这一性质，计算量小，只要熟练掌握相关知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先结合等腰三角形的性质推导AD的性质：因为AB=AC，AD是角平分线，由“三线合一”可知AD是BC的垂直平分线；再结合EF是AC的垂直平分线，可知二者交点O是△ABC三边垂直平分线的交点，也就是△ABC的外接圆圆心（外心），外心到三角形顶点的距离等于外接圆半径，因此OA就是外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，BD=CD，即AD是BC的垂直平分线。
∵ EF是AC的垂直平分线，AD与EF交于点O，
∴ 点O是△ABC三边垂直平分线的交点，即O是△ABC外接圆的圆心，
∴ OA为△ABC外接圆的半径，已知OA=3，
∴ △ABC外接圆的面积为 $S=π r^2=π×3^2=9π$。
【答案】
9π
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形外心的性质；圆的面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是结合等腰三角形性质和垂直平分线的性质判断出外接圆圆心的位置，只要熟练掌握相关基础概念和性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解。首先确定A、B、C三点的坐标，根据圆心到圆上各点距离相等（即OA=OB=OC）的性质，设出圆心O的坐标，列方程求解圆心坐标，再根据点到直线的距离规则计算圆心到AB的距离即可。
【解析】
建立平面直角坐标系：设点B为坐标原点$(0,0)$，AB所在直线为y轴，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。
由小正方形边长为1，可得各点坐标：$A(0,1)$，$B(0,0)$，$C(3,-1)$。
设圆心O的坐标为$(x,y)$，根据圆的性质$OA=OB=OC$，可得：
1. 由$OA^2=OB^2$列方程：
$x^2+(y-1)^2=x^2+y^2$
化简得：$y^2-2y+1=y^2$，解得$y=\frac{1}{2}$。
2. 由$OB^2=OC^2$列方程，代入$y=\frac{1}{2}$：
$x^2+(\frac{1}{2})^2=(x-3)^2+(\frac{1}{2}+1)^2$
展开计算：$x^2+\frac{1}{4}=x^2-6x+9+\frac{9}{4}$
消去$x^2$后移项化简得：$6x=11$，解得$x=\frac{11}{6}$。
AB所在直线为$x=0$，圆心O到AB的距离等于O点横坐标的绝对值，即$\left|\frac{11}{6}\right|=\frac{11}{6}$。
【答案】
$\dfrac{11}{6}$
【知识点】
确定圆的条件，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，利用圆心到圆上各点距离相等的性质列方程求解，是圆与几何图形结合类题目的典型考法。
【难度系数】
0.6