【分析】
解决本题首先要明确圆中两条平行弦存在两种位置关系：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，避免漏解。解题时可利用垂径定理，过圆心作两条平行弦的垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两种位置关系计算两条弦的间距即可。
【解析】
过圆心$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，延长$EO$交$CD$于点$F$，
$\because AB// CD$，$\therefore OF⊥ CD$。
连接$OA$、$OC$，$OA=OC=\odot O$的半径$=2$。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
①当$AB$、$CD$在圆心$O$的同侧时，$AB$与$CD$的距离为$OE-OF=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
②当$AB$、$CD$在圆心$O$的异侧时，$AB$与$CD$的距离为$OE+OF=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
综上，$AB$与$CD$之间的距离为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略平行弦在圆心两侧的情况导致漏解，解题时需先明确平行弦的所有可能位置，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先观察图形特征：AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先想到用垂径定理得到CD的一半长度；其次在直角三角形BHD中用勾股定理算出BH的长度；最后设圆的半径为r，将直角三角形OHD的三边用含r的式子表示，再用勾股定理列方程求出半径，即可得到直径AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，CD⊥AB，垂足为H
∴根据垂径定理，$HD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
在$Rt△ BHD$中，$BD=\sqrt{3}$，$HD=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{BD^2 - HD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{3 - 2}=1$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OH=OB - BH=r - 1$
在$Rt△ OHD$中，由勾股定理得：
$OD^2=OH^2 + HD^2$
代入得：$r^2=(r - 1)^2 + (\sqrt{2})^2$
展开整理：$r^2=r^2 - 2r + 1 + 2$
化简得：$2r=3$，即$AB=2r=3$
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，将垂径定理和勾股定理结合，通过设未知数列方程的方法求解直径长度，是圆中计算的常用思路，需要熟练掌握垂径定理的应用条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先明确弦长的变化规律：同圆中，半径固定时，弦长随弦心距的减小而增大。首先计算Rt△ABC的边长及斜边AB上的高；再结合直角三角形斜边中线的性质，得出以DE为直径的圆的圆心O到点C的距离恒为3，因此圆心O的轨迹是以C为圆心、3为半径的圆；要使弦MN最大，需圆心O到AB的距离最小，当O落在C到AB的垂线段上时，O到AB的距离最小，最后结合垂径定理和弦长公式即可求出MN的最大值。
【解析】
1. 计算BC的长度：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
2. 计算AB边上的高：过点C作$CH⊥ AB$于点H，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=4.8$。
3. 分析圆的性质：DE为圆的直径，$DE=6$，因此圆的半径$r=3$，设圆心为O。因为$∠ DCE=90°$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}DE=3$，即点O在以C为圆心、3为半径的圆上。
4. 求MN的最大值：MN是圆O的弦，设圆心O到AB的距离为$d$，根据垂径定理，弦长公式为$MN=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{9-d^2}$。要使MN最大，需$d$最小，结合O的轨迹可知，$d$的最小值为$CH-OC=4.8-3=1.8$。
代入弦长公式得：
$MN_{\mathrm{最大值}}=2\sqrt{9-1.8^2}=2\sqrt{9-3.24}=2\sqrt{5.76}=2×2.4=4.8$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，解题的核心是抓住弦长与弦心距的变化关系，通过分析圆心的轨迹找到弦心距的最小值，再结合垂径定理计算弦长，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明AC=BD，可通过线段的和差关系推导：已知OC=OD，可联想到等腰三角形三线合一的性质；AB是$\odot O$的弦，可结合垂径定理。因此我们过点O作OH⊥AB于H，可分别得到AH=BH、CH=DH，再对两个等式作差即可推出AC=BD。
【解析】
证明：过点O作$OH ⊥ AB$，垂足为H。
1. 由垂径定理可知，AB是$\odot O$的弦，且$OH ⊥ AB$，因此$AH=BH$。
2. 已知$OC=OD$，且OH垂直于AB所在的直线CD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$CH=DH$。
3. 将两个等式作差：$CH-AH=DH-BH$，根据线段的和差关系，$CH-AH=AC$，$DH-BH=BD$，因此$AC=BD$。
【答案】
11. 如图，作$OH ⊥ AB$,垂足为H,则$AH=BH$,$\because OC=OD$,$OH ⊥ AB$,$\therefore CH=DH$. $\therefore CH-AH=DH-BH$,即$AC=BD$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形三线合一；线段和差计算
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，解题关键是作出过圆心垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和等腰三角形的性质，通过线段差的关系完成证明，熟练掌握相关基础性质可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求弦AB的长度，可借助垂径定理求解：首先过圆心作AB的垂线，将AB转化为2倍的半弦长，只需计算出半弦长即可得到AB的长。第一步先根据已知的DE、CE长度求出圆的直径，进而得到半径和OE的长度；第二步利用∠CEB=45°，在构造出的直角三角形OEM中求出圆心到AB的距离OM；第三步在Rt△OAM中用勾股定理求出半弦长AM，最后乘2得到AB的总长。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$，垂足为M，连接OA。
$\because DE=9$，$CE=3$，
$\therefore CD=DE+CE=12$，
$\because CD$是$\odot O$的直径，O为圆心，
$\therefore OA=OD=\frac{1}{2}CD=6$，
$\therefore OE=DE-OD=9-6=3$。
$\because ∠ CEB=45°$，$\therefore ∠ OEM=∠ CEB=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ OEM$中，$∠ OME=90°$，$∠ OEM=45°$，
$\therefore △ OEM$为等腰直角三角形，
$\therefore OM=OE·\sin45°=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理可得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{6^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{36-\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{14}}{2}$，
根据垂径定理，$OM⊥ AB$可得$AB=2AM$，
$\therefore AB=2×\frac{3\sqrt{14}}{2}=3\sqrt{14}$。
【答案】
弦AB的长为$3\sqrt{14}$

【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆中弦长计算的典型题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合特殊角的性质和勾股定理求解，掌握垂径定理是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）求⊙O的半径，首先结合已知条件“BC是直径、AD⊥BC”，可利用垂径定理得到AH的长度，再连接半径OA构造直角三角形AOH，通过勾股定理即可求出半径OA的长度。
（2）已知∠EBA=∠EAB，根据等腰三角形等角对等边的性质可得AE=BE，设BE的长为未知数，用未知数表示出Rt△BEH的各边长度，再利用勾股定理列方程求解即可得到BE的长。
【解析】
（1）连接OA，
∵BC是$\odot O$的直径，弦$AD ⊥ BC$，
∴由垂径定理得：$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中，$AH=4$，$OH=3$，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
即$\odot O$的半径为5。
（2）
∵$∠ EBA=∠ EAB$，
∴$AE=BE$，
设$BE=AE=x$，则$EH=AH-AE=4-x$，
又
∵$BH=OB-OH=5-3=2$，且$AD⊥BC$，
在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，由勾股定理得：
$BH^2+EH^2=BE^2$，即$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开整理得：$20-8x=0$，
解得$x=2.5$，即BE的长为2.5。
【答案】
（1）$\odot O$的半径为$\boxed{5}$；（2）$BE$的长为$\boxed{2.5}$（或$\frac{5}{2}$）
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，第二问用到了方程思想，熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7