【分析】
解题时先回忆圆周角定理的相关内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。求解第一个空时，先明确直径对应的圆心角是180°的平角，结合圆周角定理就能算出对应圆周角的度数；求解第二个空时，反向推导，已知圆周角是90°，先算出对应的圆心角度数，再根据圆心角和对应弦的关系就能得到结果。
【解析】
1. 求直径所对的圆周角：
直径对应的圆心角为180°的平角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直径所对的圆周角为$180°÷2=90°$，也就是直角。
2. 求$90°$圆周角所对的弦：
若圆周角为$90°$，则它所对的圆心角为$90°×2=180°$，圆心角为$180°$时对应的弧是半圆，半圆所对的弦就是直径，因此$90°$的圆周角所对的弦是直径。
【答案】
直角，直径
【知识点】
1.圆周角定理 2.圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念考察题，考查的是圆周角定理的常用推论，是几何部分的核心基础知识点，熟记相关结论即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时可结合圆周角定理推导圆内接四边形的对角关系：首先明确圆内接四边形的每个内角都是圆周角，一组对角分别对应两段弧，这两段弧拼合后恰好是完整的圆周（总度数为360°），再根据圆周角等于所对弧度数的一半，即可算出对角的和为180°，也就是互补。
【解析】
设圆内接四边形为ABCD，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
∠A所对的弧为弧BCD，∠C所对的弧为弧BAD，两段弧之和为整个圆周，即$\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD} = 360°$，
因此$∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BCD}\mathrm{的度数} + \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BAD}\mathrm{的度数} = \frac{1}{2} × (\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD})\mathrm{的度数} = \frac{1}{2} × 360° = 180°$，
同理可证$∠ B + ∠ D = 180°$，即圆的内接四边形对角互补。
【答案】
互补
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察圆内接四边形性质的理解与识记，该性质是圆中角度计算、角度关系证明的常用基础结论，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形，因此要求∠CBA，只需先求出其锐角对应角∠CAB的度数；再观察已知角∠CDB，发现∠CDB和∠CAB是同一段弧BC所对的两个圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可直接得到∠CAB的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠CBA的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CAB和∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CDB=27°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACB中，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CBA=90°-27°=63°。
【答案】
63
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题目，解题的核心是找准同弧对应的圆周角，结合直径的性质构造直角三角形转化角度求解，掌握圆周角的相关推论就能快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察题目给出的条件：四边形ABCD内接于$\odot O$，首先回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补，即两组对角的和均为$180°$。本题中$∠ A$和$∠ C$是四边形的一组对角，已知$∠ A$的度数，直接利用对角互补的性质计算$∠ C$即可。
【解析】
解：$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
$\therefore$ 根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ A + ∠ C = 180°$，
又$\because$ $∠ A=40°$，
$\therefore$ $∠ C=180° - 40° = 140°$。
【答案】
140
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 补角的计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握对应性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知四边形是圆的内接四边形，且给出了一个内角的度数。首先回忆圆内接四边形的性质：对角互补，利用该性质先求出∠ADC的对角∠ABC的度数；再观察所求的∠AOC是圆心角，它和∠ABC对应同一段弧AC，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOC的大小。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
∵ $∠ ADC=144°$，
∴ $∠ ABC=180° - 144°=36°$。
∵ $∠ ABC$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，
∴ $∠ AOC=2∠ ABC$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴ $∠ AOC=2×36°=72°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，理清角与对应弧的关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先观察图形特征：四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE是圆内接四边形的一个外角。我们可以从两个角度思考：一是利用邻补角的性质，∠ADE与∠ADC互补；二是利用圆内接四边形的性质，对角互补，即∠ABC与∠ADC互补，再根据“同角的补角相等”即可推出与∠ADE相等的角，也可以直接运用圆内接四边形“外角等于它的内对角”的性质直接得出结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∵ 点E在CD的延长线上，
∴ $∠ ADE + ∠ ADC = 180°$（邻补角的和为$180°$），
∴ $∠ ADE = ∠ ABC$（同角的补角相等）。
【答案】
$∠ ABC$
【知识点】
圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，熟练掌握圆内接四边形的相关性质是解题的关键，这类题也是圆角度计算、证明中常用的基础考点。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求圆周角∠BAC的度数，首先需确定∠A所对的弧是优弧BC。根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，因此我们先计算优弧BC对应的圆心角度数，再除以2即可得到∠A的度数。解题时要注意区分圆周角对应的是优弧还是劣弧，不要误用劣弧BC的圆心角直接计算。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，已知劣弧BC所对的圆心角∠BOC=120°
∴ 优弧BC所对的圆心角为 $360° - 120° = 240°$
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠A是优弧BC所对的圆周角
∴ $∠ A = \frac{1}{2} × 240° = 120°$
【答案】
120
【知识点】
圆周角定理，周角的定义
【点评】
本题是圆周角定理的典型基础应用题，解题的核心是准确判断圆周角对应的弧，注意不要混淆优弧和劣弧对应的圆心角，避免直接用∠BOC除以2得到错误结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到圆中弦垂直、线段平方和的条件，可通过构造直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，将分散的两条弦转化到同一个直角三角形中求解：①先作直径CF，连接AF、DF；②利用直径的性质证明DF与AB平行，推出AF=BD；③将BD替换为AF代入勾股定理即可求出直径，进而得到半径。
【解析】
解：过点C作$\odot O$的直径CF，连接AF、DF。
∵CF是$\odot O$的直径，
∴$∠ CAF=90°$，$∠ CDF=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴$CD⊥ DF$，
又
∵$AB⊥ CD$，
∴$AB// DF$，
∴弧AF=弧BD（平行弦所夹的弧相等），
∴$AF=BD$。
在$Rt△ ACF$中，由勾股定理可得：
$AC^2 + AF^2 = CF^2$，
将$AF=BD$代入上式得：
$AC^2 + BD^2 = CF^2$，
已知$AC^2 + BD^2 = 8$，
∴$CF^2=8$，解得$CF=2\sqrt{2}$，
∴$\odot O$的半径为$\frac{CF}{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；平行弦的性质
【点评】
本题核心考查圆中构造直径的辅助线作法，通过直径关联直角三角形，将分散的线段条件整合到勾股关系中，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查圆内接四边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A与∠C的和、∠B与∠D的和均为180°，由此可得∠A+∠C=∠B+∠D。对应到度数比中，就是∠A和∠C的份数之和等于∠B和∠D的份数之和，接下来逐一验证各选项即可选出正确答案。
【解析】
根据圆内接四边形的性质可知：圆内接四边形的对角互补，因此$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$，即$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
将各选项的比例份数代入验证：
A选项：$1+3=4$，$2+4=6$，$4≠6$，不符合要求；
B选项：$4+1=5$，$2+3=5$，$5=5$，符合要求；
C选项：$4+3=7$，$2+1=3$，$7≠3$，不符合要求；
D选项：$1+2=3$，$3+4=7$，$3≠7$，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质，比的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，将角度和的关系转化为比例份数的关系即可快速判断，无需计算具体角度，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明圆的内接梯形是等腰梯形，本质是证明梯形的两腰相等。首先明确已知条件：①梯形ABCD中AD//BC；②四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四个顶点都在圆上。在同圆中，要证两条弦相等，可转化为证明弦所对的弧相等，进一步可转化为证明弧所对的圆周角相等。结合AD//BC的性质，可得到一组相等的内错角（即对应两组弧的圆周角），进而完成推导。
【解析】
已知：梯形ABCD内接于⊙O，且AD//BC。
求证：AB=CD，即梯形ABCD为等腰梯形。
证明：连接辅助线AC，
∵ AD//BC，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，
∴ ∠DAC = ∠ACB。
根据圆周角定理的推论：同圆中相等的圆周角所对的弧相等，其中∠DAC对应$\overset{\frown}{CD}$，∠ACB对应$\overset{\frown}{AB}$，
∴ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。
再根据同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ AB = CD，故梯形ABCD为等腰梯形，即圆的内接梯形都是等腰梯形。
【答案】
如图,梯形ABCD的顶点在$\odot O$上,AD//BC.求证:AB=CD.证明:连接AC.$\because AD// BC,\therefore ∠ DAC=∠ ACB,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.\therefore AB=CD$
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理推论；弧与弦的关系
【点评】
本题是圆与平面几何结合的基础证明题，解题关键是借助辅助线构造相等的圆周角，将弦相等的证明转化为弧相等的证明，能帮助学生巩固圆周角、弧、弦三者的对应转化关系。
【难度系数】
0.7