【分析】
遇到不规则阴影面积的计算问题，优先考虑割补法转化为规则图形的面积和差求解。观察图形可知：组成阴影的两个较大半圆的直径均等于长方形的宽a，可拼接为一个直径为a的整圆；剩余两个较小半圆的直径相等，均为$(b-a)$，可拼接为一个直径为$(b-a)$的整圆。阴影部分的面积即为上述两个整圆的面积差，分别计算两个圆的面积再作差化简即可得到结果。
【解析】
解：首先计算直径为a的大圆面积：
$S_大 = π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{π a^2}{4}$
再计算直径为$(b-a)$的小圆面积：
$S_小 = π × (\frac{b-a}{2})^2 = \frac{π (b-a)^2}{4}$
阴影部分面积为大圆面积减去小圆面积：
$\begin{aligned}S_{阴} &= S_大 - S_小 \\&= \frac{π a^2}{4} - \frac{π (b-a)^2}{4} \\&= \frac{π}{4} [ a^2 - (b^2 - 2ab + a^2) ] \\&= \frac{π}{4} (a^2 - b^2 + 2ab - a^2) \\&= \frac{1}{4}π(2ab - b^2)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}π(2ab-b^2)$
【知识点】
圆的面积计算，割补法求阴影面积，整式化简
【点评】
本题核心是利用割补拼接的思想，将不规则的阴影面积转化为两个规则圆的面积差求解，解题的关键是准确识别出两组半圆可以分别拼接为整圆，简化计算过程，避免单独计算每个半圆面积的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时我们可以先设出圆的半径，由此表示出扇形的半径，再分别写出圆的周长公式和扇形的弧长公式，根据题目给出的“扇形弧长等于圆的周长”这一等量关系列方程，求解即可得到扇形的圆心角度数。
【解析】
设圆的半径为$r$，则扇形的半径$R = 6r$。
圆的周长为：$C = 2π r$，由题意可知扇形的弧长$l = C = 2π r$。
根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径），将$l=2π r$、$R=6r$代入公式得：
$2π r = \frac{nπ × 6r}{180}$
由于$r≠0$，等式两边同时约去$π r$，可得：
$2 = \frac{6n}{180}$
解得：$n = 60$
【答案】
$60$
【知识点】
圆的周长计算；扇形弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是对圆周长和扇形弧长计算公式的灵活运用，解题的关键是找准两个周长相等的等量关系建立方程求解，计算时注意不要混淆扇形半径和圆的半径。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算顶点A运动到A''经过的路径长，首先明确A的运动轨迹是两段圆弧：①第一次是Rt△ABC绕点B顺时针旋转，A运动到A'的位置，路径是以B为圆心、AB长为半径的圆弧；②第二次是三角形绕点C''顺时针旋转，A'运动到A''的位置，路径是以C''为圆心、AC长为半径的圆弧。接下来先根据直角三角形的性质求出AB、AC的长度，再分别求出两次旋转的圆心角，最后用弧长公式计算两段弧长求和即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=2：
1. 求边长：
∵ ∠BAC=90°-60°=30°，
∴ AB=2BC=4，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 计算第一段弧长（A→A'）：
绕点B旋转的圆心角为$180°-∠ABC=180°-60°=120°$，半径$r_1=AB=4$，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，得第一段弧长$l_1=\frac{120π×4}{180}=\frac{8π}{3}$。
3. 计算第二段弧长（A'→A''）：
绕点C''旋转的圆心角为90°，半径$r_2=AC=2\sqrt{3}$，
得第二段弧长$l_2=\frac{90π×2\sqrt{3}}{180}=\sqrt{3}π$。
4. 总路径长：$l=l_1+l_2=\frac{8π}{3}+\sqrt{3}π=(\frac{8}{3}+\sqrt{3})π$。
【答案】
$(\frac{8}{3}+\sqrt{3})π$
【知识点】
弧长的计算；旋转的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是准确识别动点的运动轨迹，避免错算旋转角和圆弧半径，需要结合旋转的性质确定每段弧的三要素（圆心、半径、圆心角），再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 判断PA和PB的数量关系时，先根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，连接OP可得OP⊥AB；再结合垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，OP过大圆圆心且垂直于弦AB，因此OP平分AB，即可推出PA和PB的关系。
(2) 求圆环面积时，首先明确圆环面积为大圆面积减小圆面积，即$S_{圆环}=πR^2-πr^2$（R为大圆半径，r为小圆半径），本题中R=OA，r=OP，因此$S_{圆环}=π(OA^2-OP^2)$。再观察Rt△OPA，由勾股定理可得$OA^2-OP^2=AP^2$，结合AB的长度求出AP的长度，整体代入即可算出圆环面积，无需单独求解两圆的半径。
【解析】
(1) 连接OP，
∵AB是小圆的切线，切点为P，
∴OP⊥AB。
又
∵AB是大圆的弦，OP经过圆心O，根据垂径定理，OP平分AB，
∴$PA=PB$。
(2) 连接OA，由(1)可知$∠ APO=90°$，$AP=PB=\frac{1}{2}AB$。
∵AB=12，
∴$AP=\frac{1}{2}×12=6$。
在Rt△APO中，由勾股定理得：$OA^2-OP^2=AP^2=6^2=36$。
∵圆环面积$S_{圆环}=S_{大圆}-S_{小圆}=π·OA^2-π·OP^2=π(OA^2-OP^2)$，
将$OA^2-OP^2=36$代入，得$S_{圆环}=π×36=36π$。

【答案】
(1) $PA=PB$
(2) $36π$

【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将圆环面积计算和勾股定理结合，利用整体代入的思想求解，省去了单独求两圆半径的步骤，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 先利用直角三角形性质得∠ACB=90°，结合E、C、D共线得到∠ACE与∠BCD的和，再根据扇形半径相等得到两个等腰三角形，用内角和把底角用圆心角表示，代入即可求出两个圆心角的和。
(2) 先通过勾股定理结合BC=2AC算出AC²和BC²的值，再利用弧长的倍数关系求出两个圆心角的具体度数，最后用扇形面积公式计算两个扇形的面积和，即为阴影部分面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$。
$\because$ 点$E,C,D$在同一直线上，$\therefore ∠ ACE+∠ ACB+∠ BCD=180°$，即$∠ ACE+∠ BCD=90°$。
$\because AE=AC$（扇形$CAE$的半径相等），$\therefore ∠ ACE=\frac{180°-∠ EAC}{2}$；
同理$BC=BD$（扇形$CBD$的半径相等），$\therefore ∠ BCD=\frac{180°-∠ CBD}{2}$。
代入得：$\frac{180°-∠ EAC}{2}+\frac{180°-∠ CBD}{2}=90°$，
整理得：$∠ EAC+∠ CBD=180°$。
(2) $\because BC=2AC$，在$Rt△ ABC$中，$AC^2+BC^2=AB^2=25$，
代入得$AC^2+(2AC)^2=25$，解得$AC^2=5$，$BC^2=4AC^2=20$。
设$∠ EAC=n_1$，$∠ CBD=n_2$，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$\overset{\frown}{CD}=\frac{5}{2}\overset{\frown}{CE}$，
$\therefore \frac{n_2· π· BC}{180}=\frac{5}{2}· \frac{n_1· π· AC}{180}$，约去公共项后将$BC=2AC$代入，得$4n_2=5n_1$。
结合(1)中$n_1+n_2=180°$，联立解得$n_1=80°$，$n_2=100°$。
阴影部分面积为两个扇形面积之和：
$S_{阴}=S_{扇形CAE}+S_{扇形CBD}=\frac{n_1π· AC^2}{360}+\frac{n_2π· BC^2}{360}=\frac{80π×5}{360}+\frac{100π×20}{360}=\frac{20π}{3}$。
【答案】
(1) $180$；(2) $\frac{20π}{3}$
【知识点】
勾股定理，弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何基础性质和扇形相关公式的应用，解题的关键是挖掘共线和半径相等的隐含条件，建立圆心角之间的关系，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6