【分析】
（1）要证明BE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明$AB⊥ BE$，即$∠ ABE=90°$。首先利用同弧所对圆周角相等，结合已知$∠ EBC=∠ D$，可推出$∠ A=∠ EBC$；再由AB是直径得$∠ ACB=90°$，计算出$∠ ABC$的度数，即可证得$∠ ABE=90°$。
（2）求劣弧BC的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC$的度数和$\odot O$的半径。连接OC，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用已知边长和角度求出直径AB，得到半径；再根据等腰三角形内角和求出圆心角$∠ BOC$，最后代入公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ A=∠ D$（同弧所对的圆周角相等），
$\because ∠ EBC=∠ D=60°$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=60°+30°=90°$，即$AB⊥ BE$，
又$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore BE$为$\odot O$的切线。
（2）解：连接OC，
$\because OB、OC$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OB=OC$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-30°-30°=120°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=6$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore \cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}$，即$\cos30°=\frac{6}{AB}$，
解得$AB=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore$劣弧$BC$的长为$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
【答案】
(1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ A = ∠ D, \because ∠ EBC = ∠ D = 60°, \therefore ∠ A = 60°, \because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC=30°,\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=90°$,则 BE 为$\odot O$ 的切线
(2) 如图,连接OC,$\because OB=OC,\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°,\therefore ∠ BOC=120°$,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=6,∠ ABC=30°,\therefore AB=4\sqrt{3}$,即圆的半径为$2\sqrt{3}$,则劣弧 BC 的长为$\frac{120π × 2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了圆周角性质、切线判定、弧长计算等多个考点，解题的关键是灵活运用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解边长，熟练掌握相关定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
