【分析】
(1) 补全勾股数时，已知10和26两个数，26是最大数即直角三角形的斜边，直接利用勾股定理计算第三边即可。
(2) 先观察表格中所有勾股数的特征，归纳出通用的勾股数表达式，要证明该表达式符合要求，只需验证两短边的平方和等于最长边的平方，利用完全平方公式展开计算即可完成证明。
(3) 解决实际种植问题时，首先明确：两端都种花、间隔为1m的情况下，边长=株数-1。已知最短边种21株，可算出最短边长为20m。要让总种植株数最少，需使直角三角形三边长度和最小，因此另一条直角边取最小整数21m，再用勾股定理算出斜边长，最后结合四个全等三角形的结构计算总株数即可。
【解析】
(1) 设空缺的数为$x$，由勾股数的定义可得$x^2+10^2=26^2$，计算得：
$x^2=26^2-10^2=676-100=576$
因为$x$是正整数，所以$x=24$。
(2) 观察表格中勾股数的规律，可得通用表达式：$a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$，其中$k,m,n$均为正整数，且$m＞n$。
证明如下：
分别计算三边的平方：
$a^2=[k(m^2-n^2)]^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)$
$b^2=(2kmn)^2=4k^2m^2n^2$
$c^2=[k(m^2+n^2)]^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)$
计算$a^2+b^2$：
$a^2+b^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)+4k^2m^2n^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)=c^2$
满足勾股定理，因此该代数式表示的三个数为勾股数，符合要求。
(3)
已知最短边种21株花，相邻花间隔1m，且顶点处都种花，因此最短边长度$AC=21-1=20\ \mathrm{m}$。
要使总种植株数最少，需直角三角形三边长度之和最小，因此另一条直角边取最小正整数$BC=21\ \mathrm{m}$，由勾股定理得斜边长：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29\ \mathrm{m}$
绿地由四个全等的直角三角形组成，因此总种植株数为：
$(20+21+29)×4=280$株
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) $a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$（$k,m,n$为正整数，$m＞n$），证明见解析
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股定理、勾股数、完全平方公式
【点评】
本题结合传统数学著作《九章算术》设置问题，涵盖勾股数规律探究、勾股定理证明及实际应用三个模块，既考查了归纳推理能力，又考查了运用数学知识解决实际问题的能力，综合性较好。
【难度系数】
0.6
