26. (12分)(1) 问题:如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为边$BC$上一点(不与点$B$,$C$重合),将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$AE$,连接$EC$,则线段$BC$,$DC$,$EC$之间满足的等量关系为
$BC=DC+EC$
.
(2) 探索:如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,将$△ ADE$绕点$A$旋转,使点$D$落在边$BC$上,试探索线段$AD$,$BD$,$CD$之间满足的等量关系,并证明结论.
(3) 应用:如图③,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45°$.若$BD=12$,$CD=4$,求$AD$的长.
解析：
【分析】
(1) 首先根据旋转性质得到AD=AE、∠DAE=90°，结合等腰Rt△ABC的∠BAC=90°、AB=AC，可推出∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE得到BD=EC，结合BC=BD+DC即可推导三者的等量关系。
(2) 同(1)先证△BAD≌△CAE，得BD=CE、∠B=∠ACE=45°，进而推出∠DCE=90°，在Rt△DCE中用勾股定理得到CE²+CD²=DE²，再结合等腰Rt△ADE中DE²=2AD²，替换CE为BD即可得到三者关系。
(3) 先由∠ABC=∠ACB=45°推出△ABC是等腰直角三角形，将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE、DE，类比前两问的思路证△BAD≌△CAE，得BD=CE，再推出∠EDC=90°，用勾股定理求出DE的长度，最后结合等腰Rt△ADE的边的关系求出AD即可。
【解析】
(1)
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC，
∵BC=BD+DC，
∴BC=DC+EC。
(2) 结论：$\boldsymbol{BD^2+CD^2=2AD^2}$，证明如下：
同理(1)可证△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，△DCE为直角三角形，
由勾股定理得：$CE^2+CD^2=DE^2$，即$BD^2+CD^2=DE^2$，
∵Rt△ADE中AD=AE，∠DAE=90°，
∴$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，
∴$BD^2+CD^2=2AD^2$。
(3) 过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE、DE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=12，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
又
∵∠ADC=45°，
∴∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°，△CDE为直角三角形，
由勾股定理得：$DE^2=CE^2-CD^2=12^2-4^2=128$，
∵Rt△ADE中$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，
∴$2AD^2=128$，即$AD^2=64$，
∵AD＞0，
∴AD=8。
【答案】
(1) $BC=DC+EC$；(2) $BD^2+CD^2=2AD^2$；(3) $8$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类综合题，遵循由特殊到一般的探究逻辑，前两问的全等证明思路可直接迁移到第三问的辅助线构造中，解题核心是通过旋转构造全等三角形实现线段的等量转化，再结合勾股定理求解，对几何逻辑推理能力和知识迁移能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
