【分析】
解题时首先要读懂题意，将文字描述转化为几何图形的边长关系：第一步，先明确各边的长度表达式，AC为水深x尺，红莲的总长度AB等于水深加上高出水面的BC，即$AB=x+0.5$；第二步，由题意可知$AB=AB'$，因此斜边$AB'$的长度也为$x+0.5$；第三步，观察到$△ ACB'$是直角三角形，$∠ C$为直角，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入对应边长即可列出方程。
【解析】
设AC的长度为x尺，
由题意得：红莲总长度$AB=AC+BC=x+0.5$（尺），
$\because AB=AB'$，
$\therefore AB'=x+0.5$（尺），
又$\because AC⊥ B'C$，即$△ ACB'$是直角三角形，
根据勾股定理可得：$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
将$AC=x$，$B'C=2$，$AB'=x+0.5$代入得：
$x^2 + 2^2 = (x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题以古算诗为背景，将实际问题转化为直角三角形的几何问题，既考查了对勾股定理的掌握，也考查了阅读理解和信息提取的能力，属于基础的知识应用类题目。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路如下：首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知直角边AC和斜边AB的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，BC就是小汽车4s行驶的路程；再根据“速度=路程÷时间”计算小汽车的行驶速度，最后将速度单位换算为km/h，和规定的70km/h比较大小即可判断是否超速。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=50m，AB=130m，
根据勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{130^2-50^2}=\sqrt{14400}=120\mathrm{m}$，
小汽车的行驶速度为：$v=\frac{s}{t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m/s}$，
换算单位：$30\mathrm{m/s}=30×3.6\mathrm{km/h}=108\mathrm{km/h}$，
∵$108\mathrm{km/h}＞70\mathrm{km/h}$，
∴这辆小汽车超速了。
【答案】
超速
【知识点】
勾股定理的应用；速度计算；单位换算
【点评】
本题结合交通测速的实际场景，考查几何知识在生活中的应用，解题时要注意理清直角三角形的边长对应关系，特别要注意速度单位的统一换算，避免因单位错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算圆柱表面蚂蚁爬行的最短路程，首先需将圆柱侧面展开为平面图形，把曲面路径转化为平面路径问题。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，爬行路径必须经过杯上沿，因此可通过作点B关于杯上沿所在直线的对称点，将外壁的点转化到内壁侧，结合“两点之间线段最短”，对称点到A的线段长度就是最短路径，最后用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
解：将玻璃杯侧面展开为矩形，作点B关于杯上沿对应直线EF的对称点B'，过B'作B'D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB'，此时AB'的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
根据题意计算各边长度：
A离杯底4cm，杯高9cm，因此$AE=9-4=5\ \mathrm{cm}$；
B离杯上沿1cm，对称后$DE=1\ \mathrm{cm}$，因此$AD=AE+DE=5+1=6\ \mathrm{cm}$；
A、B为相对的点，底面周长为16cm，因此水平距离$B'D=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'D$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AD^2+B'D^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题，勾股定理的应用，轴对称的性质
【点评】
本题是勾股定理解决实际最短路径问题的典型题型，核心是将立体曲面展开为平面，利用轴对称将跨两侧的路径转化为两点间的线段，再结合勾股定理计算，解题时要注意准确对应展开图中各线段的实际长度，避免找错直角边。
【难度系数】
0.6

【分析】
要使C、D两村到E站距离相等，即DE=CE。观察图形可知△DAE和△EBC均为直角三角形，我们可以设AE的长度为未知数，利用勾股定理分别表示出DE²和CE²，再根据DE=CE得到二者平方相等，列方程求解即可得到AE的长度。
【解析】
解：设E站距离A站$ x $ km，则E站距离B站$ (25-x) $ km。
∵ $ DA⊥AB $，$ CB⊥AB $
∴ $ ∠A=∠B=90° $，△ADE和△BCE都是直角三角形。
根据勾股定理：
在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，$ DE^2 = AD^2 + AE^2 = 15^2 + x^2 $
在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，$ CE^2 = BC^2 + BE^2 = 10^2 + (25-x)^2 $
∵ 要求$ DE=CE $
∴ $ DE^2 = CE^2 $，即：
$ 15^2 + x^2 = 10^2 + (25-x)^2 $
展开计算：
$ 225 + x^2 = 100 + 625 - 50x + x^2 $
消去两边的$ x^2 $得：
$ 225 = 725 - 50x $
移项解得：
$ 50x = 500 $，$ x=10 $
答：E站应修建在离A站10 km处。
【答案】
10 km
【知识点】
勾股定理；方程思想；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用问题，解题关键是抓住“到两点距离相等”的条件，结合直角三角形的特征，用勾股定理建立等量关系列方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7