1. 把多项式$4a^2 -1$分解因式，正确的结果是（
）.
A.$(2a+1)^2$
B.$(2a-1)^2$
C.$(2a+1)(2a-1)$
D.$(4a+1)(4a-1)$
答案：C
解析：
利用平方差公式分解因式，将多项式$4a^2-1$变形为$(2a)^2 - 1^2$，代入平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，可得$4a^2-1=(2a+1)(2a-1)$。
2. 课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是（
）。
A.第（1）道题
B.第（2）道题
C.第（3）道题
D.第（4）道题
答案：B
解析：
根据平方差公式分解因式的多项式特征：多项式可整理为两个平方项的差，即两项符号相反、均为平方形式，逐一判断：
1. $x^2 - y^2$ 符合平方差形式，可分解为$(x+y)(x-y)$，题目正确；
2. $-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，两项同号，无法写成两个平方项的差，不能用平方差公式分解，不符合本题"用平方差公式分解因式"的要求，是抄错的题目；
3. $-25n^2 + 16m^2 = (4m)^2 - (5n)^2$ 符合平方差形式，可分解，题目正确；
4. $(m+n)^2 - 1 = (m+n)^2 - 1^2$ 符合平方差形式，可分解，题目正确。
因此抄错的是第（2）道题。
3. 计算$65^2 - 35^2 = (\quad)$.
A. 3 000
B. 100
C. 1 100
D. 110
(4) $(m+n)^2 -1.$
答案：解：
1. 计算$65^2 - 35^2$：
$\begin{aligned}65^2 - 35^2&=(65+35)(65-35)\\&=100×30\\&=3000\end{aligned}$
该题选A。
2. 分解因式$(m+n)^2 -1$：
$\begin{aligned}(m+n)^2 -1&=(m+n)^2 - 1^2\\&=(m+n+1)(m+n-1)\end{aligned}$
4. 如果一个数$a=(2n+1)^2-(2n-1)^2$，那么我们称这个数a为“奇差数”。下列各数为“奇差数”的是（
）。
A.126
B.94
C.82
D.56
答案：D
解析：
利用平方差公式对a的表达式分解因式：
$\begin{aligned}a&=(2n+1)^2-(2n-1)^2\\&=[(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)]\\&=2×4n\\&=8n\end{aligned}$
可知“奇差数”是8的整数倍。分别验证选项：126÷8=15.75，94÷8=11.75，82÷8=10.25，56÷8=7，仅56能被8整除，对应n=7为整数，因此56是奇差数。
5. 小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$a-b$，$x-y$，$x+y$，$a+b$，$x^2-y^2$，$a^2-b^2$分别对应下列六个字：国、爱、我、祖、游、美. 现将$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2$分解因式，结果呈现的密码信息可能是（
）.
A.我爱美
B.祖国游
C.我爱祖国
D.美我祖国
答案：C
解析：
先对多项式分解因式：
1. 提取公因式：
$(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2=(x^2-y^2)(a^2-b^2)$
2. 利用平方差公式继续分解：
$=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b)$
对照已知对应关系：$x-y$对应爱，$x+y$对应我，$a-b$对应国，$a+b$对应祖，组合得到密码信息为“我爱祖国”。
