6. 已知$a^2 - a = 10$，求$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{1}{a^2 -1}$的值。
答案：解：
先对各多项式因式分解，将除法运算转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·(a^2-1)\\&=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·(a+1)(a-1)\\&=(a-2)(a+1)\\&=a^2 -a -2\end{aligned}$
把$a^2 -a=10$代入，得：
原式$=10 - 2 = 8$
1. 计算$\frac{2x}{x+1} - \frac{x-1}{x+1}$的结果是（
）.
A.$x+1$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$\frac{x}{x+1}$
D.$1$
答案：D
解析：
同分母分式相减，分母保持不变，分子相减，可得原式$=\frac{2x-(x-1)}{x+1}$，化简分子得$2x-x+1=x+1$，即式子变为$\frac{x+1}{x+1}$，约分后结果为1。
2. 下列式子运算结果为$x+1$的是（
）.
A.$\dfrac{x^2+2x}{x+2}$
B.$\dfrac{x^2-2x+1}{x-1}$
C.$\dfrac{x^2-1}{x} ÷ \dfrac{x+1}{x}$
D.$\dfrac{x^2}{x-1} - \dfrac{1}{x-1}$
答案：D
解析：
分别计算各选项：
A. 原式=$\frac{x(x+2)}{x+2}=x$，结果不为$x+1$；
B. 原式=$\frac{(x-1)^2}{x-1}=x-1$，结果不为$x+1$；
C. 原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{x+1}=x-1$，结果不为$x+1$；
D. 原式=$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$，结果为$x+1$。
3. 已知$M=\dfrac{6}{x^2 -9}$，$N=\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{3-x}$，则$M$，$N$的关系为（
）。
A.$M=N$
B.$MN=1$
C.$M+N=0$
D.不能确定
答案：C
解析：
先化简N：
1. 将$N$的第二项变形：$\frac{1}{3-x}=-\frac{1}{x-3}$，得$N=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}$
2. 最简公分母为$x^2-9$，通分计算：
$N=\frac{x-3}{x^2-9}-\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{x-3-x-3}{x^2-9}=\frac{-6}{x^2-9}$
3. 已知$M=\frac{6}{x^2-9}$，因此$M=-N$，即$M+N=0$。
4. 若$\frac{m^2}{m^2 -1} + \frac{△}{m^2 -1} = \frac{m}{m-1}$，则“△”应该是（
）。
A.$m$
B.$m-1$
C.$m+1$
D.$\frac{m}{m-1}$
答案：A
解析：
根据同分母分式加法法则，可得$△ = \frac{m}{m-1} · (m^2-1) - m^2$。利用平方差公式分解$m^2-1=(m+1)(m-1)$，代入计算：$△ = \frac{m}{m-1} · (m+1)(m-1) - m^2 = m(m+1) - m^2 = m^2 + m - m^2 = m$。
