5. 一个长度为15厘米的尺子，最少把它切成几份，就能用它量出1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……一直到15厘米的每个长度？
答案：解：最少需要切成4份。
我们可以将15厘米的尺子切为长度为$1$厘米、$2$厘米、$4$厘米、$8$厘米的4段，通过不同段的加减组合，即可覆盖1到15厘米的所有整数长度：
$1=1$，$2=2$，$3=1+2$，$4=4$，$5=1+4$，$6=2+4$，$7=1+2+4$，
$8=8$，$9=1+8$，$10=2+8$，$11=1+2+8$，$12=4+8$，$13=1+4+8$，
$14=2+4+8$，$15=1+2+4+8$。
同时少于4份时，最多的可组合出的不同长度总数无法覆盖1~15的所有值，因此最少份数为4。
解析：
【解析】
要量出1到15厘米的所有整数长度，可利用二进制的拆分思路：
1. 若切出长度为1厘米、2厘米、4厘米、8厘米的4段，满足总和：$1+2+4+8=15$厘米，刚好等于尺子总长度。
2. 验证所有长度：
- 1厘米、2厘米、4厘米、8厘米可直接用单段量出；
- 3=1+2，5=1+4，6=2+4，7=1+2+4，9=1+8，10=2+8，11=1+2+8，12=4+8，13=1+4+8，14=2+4+8，15=1+2+4+8，所有1到15厘米的长度都可通过若干段的和得到。
若尝试切3段，最多仅能组合出最多7种不同的和，无法覆盖1到15共15个长度，因此最少需要切4份。
【答案】
4份
【知识点】
二进制拆分，整数分拆
【点评】
本题结合实际测量场景考察整数分拆的最优思路，利用二进制的特性实现用最少的分段覆盖所有连续整数长度，锻炼逻辑推理和数学建模思维。
【难度系数】
0.3
古时候，人们会通过在绳子上打结来记录数量。一位渔民从右往左在绳子上打结计数，打一天鱼就打一个结，“满五进一”，用来记录打鱼的天数。
（1）五进制数的计数单位：
$(1)_5=$ $(10)_5=$ $(100)_5=$ $(1000)_5=$
（2）一位渔民从右往左打结的个数依次是4，2，1，2，记录打鱼的天数。这位渔民已经打鱼(
)天。
答案：（1）
$(1)_5=1$
$(10)_5=5$
$(100)_5=25$
$(1000)_5=125$
（2）
$4×1 + 2×5 + 1×25 + 2×125 = 289$
答：这位渔民已经打鱼289天。
