11. 将下列实数填入相应的括号内：
$0.32,\frac{1}{7},\sqrt{5},0,-\sqrt{(-3)^2},0.7171117…,-7,\pi,\sqrt[3]{9}$.
(1)整数：…{ };
(2)分数：…{ };
(3)负实数：…{ };
(4)无理数：…{ }.
答案：
(1)整数：$\{ 0,-\sqrt {(-3)^{2}},-7,\cdots \} $；
(2)分数：$\{ 0.32,\frac {1}{7},\cdots \} $；
(3)负实数：$\{ -\sqrt {(-3)^{2}},-7,\cdots \} $；
(4)无理数：$\{ \sqrt {5},0.7171171117\cdots ,\pi ,\sqrt [3]{9},\cdots \} $.
解析：
【分析】
解题前先对题目中带运算的实数进行化简，再结合各类实数的定义逐一筛选归类：①先计算$-\sqrt{(-3)^2}$的结果；②明确各分类定义：整数包含正整数、0、负整数；分数包含有限小数和无限循环小数；负实数是小于0的实数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含$π$的数、有规律但不循环的无限小数，最后逐一匹配分类即可。
【解析】
第一步：先化简带运算的数：$-\sqrt{(-3)^2}=-\sqrt{9}=-3$。
第二步：结合定义逐一分类：
(1) 整数是正整数、0、负整数的统称，符合要求的有：$0$，$-\sqrt{(-3)^2}$，$-7$；
(2) 有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，属于分数范畴，符合要求的有：$0.32$，$\frac{1}{7}$；
(3) 小于0的实数为负实数，符合要求的有：$-\sqrt{(-3)^2}$，$-7$；
(4) 无限不循环小数为无理数，$\sqrt{5}$、$\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，$0.7171171117…$是无限不循环小数，$π$是典型的无限不循环小数，均属于无理数，符合要求。
【答案】
(1)整数：$\{ 0,-\sqrt {(-3)^{2}},-7,··· \} $；
(2)分数：$\{ 0.32,\frac {1}{7},··· \} $；
(3)负实数：$\{ -\sqrt {(-3)^{2}},-7,··· \} $；
(4)无理数：$\{ \sqrt {5},0.7171171117··· ,π ,\sqrt [3]{9},··· \} $.
【知识点】
实数的分类、有理数的概念、无理数的识别
【点评】
本题属于实数分类的基础题，解题的核心是先化简含运算的数，再牢记各类实数的定义，注意不要将有限小数错排除在分数外，也不要把有规律的无限不循环小数误认为是循环小数。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1)$-\sqrt{121}+\sqrt{36}+\sqrt{2\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{-0.125}$;
(2)$(2 - \sqrt{3})^0 + \vert1 - \pi\vert+\sqrt{16}-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+(-1)^{2024}$.
答案：
(1)-3
(2)$\pi +3$
解析：
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路为先分别化简每一个运算项，再按照有理数的加减法则计算最终结果：
(1)第一小问需先将平方根、立方根分别化简：先计算整数的算术平方根，带分数先化为假分数再开平方，负数的立方根是负数，注意处理好每一项的符号，再合并计算。
(2)第二小问需分别计算零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、有理数的乘方：非零数的零次幂等于1，绝对值需先判断绝对值内式子的正负再去绝对值符号，负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数，-1的偶次幂等于1，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先化简各根式：
$-\sqrt{121}=-11$，$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，$\sqrt[3]{-0.125}=-0.5$，因此：
$\begin{aligned}原式&=-11+6+\frac{3}{2}-(-0.5)\\&=-5 + 1.5 + 0.5\\&=-5+2\\&=-3\end{aligned}$
(2) 分别计算每一项：
非零数的零次幂：$(2-\sqrt{3})^0=1$；
因为$π＞1$，所以$\vert1-π\vert=π-1$；
$\sqrt{16}=4$；
负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；
偶次幂：$(-1)^{2024}=1$，因此：
$\begin{aligned}原式&=1+(π-1)+4-2+1\\&=1+π-1+4-2+1\\&=π + (1-1+4-2+1)\\&=π+3\end{aligned}$
【答案】
(1) $-3$；(2) $π + 3$
【知识点】
实数混合运算、平方根与立方根化简、指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，重点考查各类基础运算规则的掌握情况，解题的关键是准确化简每一个运算项，注意符号的处理，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
13. 观察下列各式,然后探索下列问题.
∵$\sqrt[3]{1}= 1$,$\sqrt[3]{-1}= -1$,∴$\sqrt[3]{-1}= -\sqrt[3]{1}$.
∵$\sqrt[3]{8}= 2$,$\sqrt[3]{-8}= -2$,∴$\sqrt[3]{-8}= -\sqrt[3]{8}$.
∵$\sqrt[3]{27}= 3$,$\sqrt[3]{-27}= -3$,∴$\sqrt[3]{-27}= -\sqrt[3]{27}$……
计算：$\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+…+\sqrt[3]{-100^3}$.
答案：原式$=(-1)+(-2)+(-3)+\cdots +(-100)=-5050.$
解析：
【分析】
首先观察题目给出的几组等式，可归纳出立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即对于正整数n，$\sqrt[3]{-n^3}=-n$。待求式子的每一项都符合$\sqrt[3]{-n^3}$的形式，n从1依次取到100，因此先利用上述性质化简每一项，再计算-1到-100的和即可，求和时可使用“首项加末项乘项数除以2”的方法快速计算。
【解析】
根据题中规律可得$\sqrt[3]{-n^3}=-n$（n为正整数），对原式化简计算如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt[3]{-1^3}+\sqrt[3]{-2^3}+\sqrt[3]{-3^3}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}\\&=(-1)+(-2)+(-3)+\dots+(-100)\\&=-(1+2+3+\dots+100)\\&=-\frac{(1+100)×100}{2}\\&=-5050\end{aligned}$
【答案】
$-5050$
【知识点】
立方根的性质；有理数加法；规律探究
【点评】
本题是规律应用类基础题，需要先从已知示例中归纳出立方根的符号性质，再结合基础求和运算求解，重点考查学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
